Теорема Фалеса

Теорема Фалеса Эта теорема о параллельных прямых. Об угле, опирающемся на диаметр, см. другую теорему. Теорема Фалеса - одна из теорем планиметрии. В теореме нет ограничений на взаимное расположение секущих (она верна как для пересекающихся прямых, так и для параллельных). Также неважно, где находятся отрезки на секущих. Доказательство в случае секущих [показать] Доказательство теоремы Фалеса Рассмотрим вариант с несвязанными парами отрезков: пусть угол пересекают прямые AA1 | | BB1 | | CC1 | | DD1 и при этом AB = CD. Проведём через точки A и C прямые, параллельные другой стороне угла. Получим два параллелограмма AB2B1A1 и CD2D1C1. Согласно свойству параллелограмма: AB2 = A1B1 и CD2 = C1D1. Треугольники и равны на основании второго признака равенства треугольников: AB = CD согласно условию теоремы, как соответственные, образовавшиеся при пересечении параллельных BB1 и DD1 прямой BD. Аналогично каждый из углов и оказывается равным углу с вершиной в точке пересечения секущих. AB2 = CD2 как соответственные элементы в равных треугольниках. A1B1 = AB2 = CD2 = C1D1 ■ Доказательство в случае параллельных прямых [показать] Проведем прямую BC. Углы ABC и BCD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей BC, а углы ACB и CBD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AC и BD и секущей BC. Тогда по первому признаку равенства треугольников треугольники ABC и DCB равны. Отсюда следует, что AC = BD и AB = CD. ■ Также существует обобщённая теорема Фалеса: Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки: Теорема Фалеса является частным случаем обобщённой теоремы Фалеса, поскольку равные отрезки можно считать пропорциональными отрезками с коэффициентом пропорциональности, равным 1. Обратная теорема Если в теореме Фалеса равные отрезки начинаются от вершины (часто в школьной литературе используется такая формулировка), то обратная теорема также окажется верной. Для пересекающихся секущих она формулируется так: В обратной теореме Фалеса важно, что равные отрезки начинаются от вершины Таким образом (см. рис.) из того, что следует, что прямые . Если секущие параллельны, то необходимо требовать равенство отрезков на обоих секущих между собой, иначе данное утверждение становится неверным (контрпример - трапеция, пересекаемая линией, проходящей через середины оснований). Теорема Фалеса в культуре Аргентинская музыкальная группа Les Luthiers (исп.) представила песню, посвящённую теореме. В видеоклипе для этой песни[1] приводится доказательство для прямой теоремы для пропорциональных отрезков. Интересные факты Теорема Фалеса до сих пор используется в морской навигации в качестве правила о том, что столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется курс судов друг ...