Bonne teoremasi

Bonne teoremasi Berilgan ikkita kvadratik formalar uchun sirtning mavjudligi va fazodagi harakatga nisbatan uning yagonaligi haqidagi teoremalarni isbotlaymiz. Teorema-16 (Mavjudlik). Tekislikdagi sohada aniqlangan differensiallanuvchi funksiyalar berilgan bo'lib, munosabatlar bajarilgan va matritsaning determinanti noldan katta bo'lsin. Bundan tashqari bu funksiyalar uchun Gauss va Peterson-Kodatstsi tenglamalari bajarilgan bo'lsin. Shunda har bir uchun bu nuqtaning atrofi va tenglama bilan aniqlangan regulyar sirt mavjud bo'lib, uning birinchi va ikkinchi kvadratik formalarining matritsalari mos ravishda va matritsalar bilan ustma-ust tushadi. Isbot. Berilgan matritsaga teskari matritsa elementlarini bilan belgilaymiz va bo'yicha funksiyalarni topamiz. Endi quyidagi vektor funksiyalarga nisbatan quyidagi xususiy hosilali differensial tenglamalar sistemasini qaraylik. (1). Bu yerda belgilashlardan foydalandi. Shuni hisobga olib (1) sistemani har bir indeks uchun yozsak, u (2) ko'rinishga keladi. Endi bu xususiy hosilali differensial tenglamalar sistemasining yechimi mavjudlik shartlarini yozamiz: (3). Bu mavjudlik shartlari Gauss va Peterson-Kodatstsi tenglamalariga ekvivalent ekanligini oldingi paragrafda ko'rsatdik. Demak bizning (1) sistemamiz uchun sohaning har bir nuqtasida yechimning mavjudlik shartlari bajarilgan. Demak, birorta nuqta olsak, shu nuqtaning birorta atrofida (1) sistema nuqtada berilgan boshlang'ich shartlarni qanoatlantiruvchi yagona yechimga ega yaúni sohada aniqlangan vektor funksiyalar mavjud va (1) sistemani qanoatlantiradi. Boshlang'ich shartlarni quyidagicha tanlaymiz: va vektorlar o'ng sistemani tashkil qiladi. Bu boshlang'ich shartlarni qanoatlantiruvchi vektorlar mavjudligi matritsaning musbat aniqlanganligidan kelib chiqadi. Endi vektor funksiya uchun sistemasini qaraymiz. Bu sistema uchun yechimning mavjudlik sharti tenglikdan iboratdir. Lekin bo'lganligi uchun undan tashqari munosabat ham bor. Demak, munosabat va tenglik o'rinlidir. Shunday qilib, agar nuqta uchun (4) sistemani boshlang'ich shart bilan qarasak. () nuqtaning birorta atrofida aniqlangan yechim mavjud. Endi tenglama bilan aniqlangan sirtning birinchi va ikkinchi kvadratik formalari koeffitsiyentlarini hisoblaymiz. Buning uchun funksiyalarni differensiallash yordamida (5) xususiy hosilali differensial tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bu tenglamalar sistemasi uchun funksiyalar yechim bo'ladi. Oxirgi tenglama uchun bu faktni bevosita ifodalarni tenglamaga qo'yib tekshirish mumkin. Ikkinchi tenglama uchun tekshiramiz . Birinchi tenglamani tekshirish uchun tenglikni ga ko'paytirib, indeks bo'yicha yig'amiz. Natijada tenglikni hosil qilamiz. Xuddi shunday tenglik ham o'rinli. Bundan munosabat kelib chiqadi. Bu munosabat o'z navbatida funksiyalar 1-tenglama uchun yechim ekanligini ko'rsatadi. Bu yechimlar uchun boshlang'ich shartlarga ko'ra munosabatlar o'rinli va vektorlar o'ng sistemani tashkil etadi. Bundan esa, (5) sistemaning yechimi yagonaligiga ko'ra tengliklar va aralash ko'paytma uchun munosabat sohaning hamma nuqtasida bajarilishi kelib chiqadi. Demak, sirt uchun munosabatlar o'rinli. Bundan esa sirtning birinchi kvadratik formasi matritsasi matritsa bilan ustma-ust tegishli kelib chiqadi. Ikkinchi tomondan bo'lganligi uchun vektor sirtning birlik normal vektori bo'ladi. Demak, munosabat o'rinli bo'lib, sirtning ikkinchi kvadratik forma matritsasi ...