Bosh yo'nalishlar va bosh egriliklar

Bosh yo'nalishlar va bosh egriliklar Sirtning ikkinchi kvadratik formasi F sirtning 2-kvadratik formasi ham TrF ga tegishli vektorlar jufti uchun aniqlangan bichiziqli (yani har bir argumenti bo'yicha chiziqli) funksiya yordamida aniqlanadi. F sirtning r nuqtasidagi birlik normal vektorini bilan belgilaylik. Ikkinchi kvadratik formani II bilan belgilab, uni uchun ni berish yordamida aniqlaymiz. Agar p nuqta atrofida F sirtni parametrlash usuli tenglama bilan aniqlanib, F sirtda p nuqtadan o'tuvchi egri chiziq tenglama bilan berilgan va bo'lsin. Þqorida ko'rsatilganidek, differensiallanuvchi funksiyalar mavjud bo'lib tenglik bajariladi. Ikkinchi kvadratik formaning juftlik uchun qiymatini formula bilan aniqlaymiz. Endi va tengliklarni hisobga olib, formulani hosil qilamiz. Endi belgilashlarni kiritib, ikkinchi kvadratik formaga mos keluvchi bichiziqli funksiyani formula yordamida aniqlaymiz. Bu yerda . Birinchi va ikkinchi kvadratik formalar koeffitsiyentlaridan tuzilgan matritsalarni kiritamiz. Biz bilamizki, detA0 bo'lganligi uchun teskari matritsa mavjud. matritsa uchun quyidagi teorema o'rinlidir. Teorema-10. matritsaning xos sonlari haqiqiy bo'lib, ular har xil bo'lganda ularga mos keluvchi xos vektorlar o'zaro perpendikulyardir. Isbot. matritsaning xos sonlarini topish uchun tenglamani yechish kerak. Bu tenglama tenglamaga teng kuchlidir. F sirtga tegishli r nuqtani fiksirlasak A,V sonli matritsalar bo'ladi. A simmetrik bo'lganligi uchun uni birorta matritsa yordamida birlik matritsaga aylantirish mumkin. Bunda A matritsa SAST matritsaga o'tadi. Demak SASTYe yoki bu yerda ST transponirlangan matritsa. Shunda bu yerda . Demak, tenglama tenglamaga teng kuchlidir. Lekin , yani simmetrik bo'lganligi uchun uning xos sonlari haqiqiydir. Demak, matritsaning xos sonlari haqiqiy, va ular har xil bo'lganda xos vektorlar o'zaro ortogonaldir. Agar -xos sonlar, -xos vektorlar bo'lsa, yani , tengliklar bajarilsa bo'lganda deb hisoblaymiz. ta'rif-1. bo'lganda va vektorlar aniqlovchi to'g'ri chiziqlar r nuqtadagi bosh yo'nalishlar deb ataladi. Teorema-12. matritsaning xos va vektorlar yo'nalishlari bo'yicha normal egriliklar mos ravishda shu matritsaning xos sonlariga teng bo'ladi. Isbot. ni hisoblash uchun da va xos vektorlardan iborat ortonormal bazisni tanlasak, va tengliklar o'rinli bo'ladi. ning skalyar ko'paytma ekanligini hisobga olsak, kelib chiqadi. Demak bu bazisda va . Demak, tengliklar kelib chiqadi. ta'rif-3. Bosh yo'nalishlarga mos keluvchi normal egriliklar bosh egriliklar deb ataladi. Endi -urinma fazoda bazis sifatida birlik xos va vektorlarni olib, ixtiyoriy vektor uchun bilan va orasidagi burchakni belgilaylik. Teorema-13 (Eyler). Ixtiyoriy urinma vektor uchun tenglik o'rinlidir. Bu yerda -bosh egriliklar bo'lib, aniqlik uchun deb hisoblaymiz. Isbot. Urinma vektorni ko'rinishda yozib ni hisoblaymiz: Natija. Bosh egriliklar normal egrilikning ekstremal qiymatlaridir. Haqiqatan ham, urinma fazoda va ortonormal bazislarni tanlasak, yo'nalish aniqlovchi normal egrilikni ning funksiyasi sifatida qaraymiz: . da va da va . Ixtiyoriy uchun þqoridagi formulani ...