Derivatsion formulalar

Derivatsion formulalar Biz sirtning birinchi va ikkinchi kvadratik formalari orasidagi bog'lanishlarni ko'rsatamiz. Regulyar F sirt nuqta atrofida regulyar parametrlash usuli bilan berilgan bo'lsin. Hosil bo'ladigan formulalarni ixchamlash uchun tenzor hisob-kitobdagi belgilashlardan foydalanamiz. Buning uchun belgilashlarni kiritamiz. Bundan tashqari birinchi kvadratik forma matritsasi elementlarini lar bilan, ikkinchi kvadratik forma matritsasi elementlarini lar bilan belgilaymiz. Demak, . Yig'indilarda agar bironta indeks þqorida va pastda bir xil marta uchrasa bu indekslar bo'yicha yig'indi belgisini tashlab yozamiz. Misol uchun . Endi da va vektorlarni bazis sifatida olib, va vektorlarni bu bazis vektorlar yordamida chiziqli ifodalaymiz: (1) Bu yerda . Agar birinchi tenglikda bo'lsa tenglik hosil bo'ladi. Ana shu yozilgan (1) formulalarda va ,, funksiyalar (koeffitsiyentlar) faqat birinchi va ikkinchi kvadratik formalar koeffitsiyentlari orqali ifodalanishini ko'rsatamiz. Buning uchun tenglikni vektorga skalyar ko'paytiramiz va , tengliklarni hisobga olib tenglikni hosil qilamiz. Endi tenglikni ga skalyar ko'paytiramiz va tengliklarni hisoga olib (2) tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikni odatdagi ko'rinishda yozsak sistemani hosil qilamiz. Bu sistemadan bo'lganligi uchun koeffitsiyentlarni topish mumkin. bilan matritsaning elementlarini belgilaymiz. Shunda tenglikni ko'rinishda yoza olamiz. Bundan foydalanib, (2) tenglikni ga ko'paytirib va j indeks bo'yicha yig'ib, quyidagi formulalarni hosil qilamiz: . Bundan tenglik kelib chiqadi. Misol uchun da ni hosil qilamiz. Bu yerda , bo'ladi. Shunday qilib, , funksiyalarni topdik. Endi tenglikni vektorga skalyar ko'paytirib tenglikni hosil qilamiz. Bu yerda ekanligi malum. Biz (1) sistemadagi koeffitsiyentlarni topmoqchimiz. Buning uchun belgilashni kiritib (3) tenglikni hosil qilamiz. Endi tenglikni bo'yicha differensiallab tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikni funksiyalar orqali yozsak (4) ko'rinishda bo'ladi. Bu tenglikda indekslarni aylantirib yana ikkita tenglikni yozamiz . (5) Endi (4) tenglikdan (5) tengliklarni ayirib (6) tenglikni hosil qilamiz. Bu yerda tenglikni hisobga olib (6)ni quyidagicha yozamiz . Bundan esa (7) tenglikni hosil qilamiz. Endi funksiyalarni topa olamiz. Buning uchun (3) ni ga ko'paytirib indeks bo'yicha yig'sak tenglikni hosil qilamiz. Demak, formulani hosil qildik. Nihoyat (7) tenglikni ga ko'paytirib j indeks bo'yicha yig'amiz va natijada (8) formulani hosil qilamiz. Bu (8) formula bizga 6 ta funksiyalarni topish imkonini beradi. Misol uchun da tenglikni hosil qilamiz. Þqoridagi (8) formuladan ko'rinib turibdiki, funksiyalar faqat birinchi kvadratik forma koeffitsiyentlari va ularning hosilalari orqali hisoblanadi. Nihoyat (1) formuladagi hamma koeffitsiyentlar topildi. Endi (1)ni quyidagi ko'rinishda yoza olamiz: . (9) Bu formulalar derivatsion formulalar deb ataladi. Derivatsion formulalarni birinchi va ikkinchi kvadratik formalar orasidagi bog'lanishni topish uchun ishlatamiz. Buning uchun (10) tengliklarni yozib, ,, funksiyalarni derivatsion formulalar yordamida ifodalaymiz. Shunda (10) tengliklar va ko'rinishga keladi. Bu tengliklarda ...