Egri chiziq va uning berilish usullari

Egri chiziq va uning berilish usullari ta'rif-1: Fazodagi (yoki tekislikdagi) to'plam birorta ochiq intervalning topologik (gomeomorf) akslantirishdagi obrazi bo'lsa, u elementar egri chiziq deb ataladi. Bu ta'rifga ko'ra, birorta akslantirish uchun, tenglik o'rinli va topologik akslantirish bo'lsa, elementar egri chiziq deb ataladi. Biz akslantirish yordamida berilgan elementar egri chiziqni qaraylik. Ochiq intervalga tegishli ixtiyoriy nuqtaga mos keluvchi nuqtani bilan belgilasak, gomeomorfizmni ko'rinishda yoza olamiz.Bu nuqtaning koordinatalarini lar bilan belgilasak, akslantirish ko'rinishda bo'ladi. Shuning uchun quyidagi tengliklar sistemasi chiziqning parametrik tenglamalari deyiladi: Tabiiyki, uzluksiz akslantirish bo'lganligi uchun, koordinatalar o'zgaruvchining uzluksiz funksiyalaridir. Agar elementar egri chiziq funksiyaning grafigi bo'lsa, uning parametrik tenglamalari ko'rinishda bo'ladi. Elementar egri chiziqning parametrik tenglamalari topologik akslantirish yordamida aniqlanadi. Shuning uchun, agar chiziqni boshqa gomeomorfizm yordamida aniqlasak, uning parametrik tenglamalari o'zgaradi. Birinchi bobda ko'rdikki, har qanday ikki ochiq interval o'zaro gomeomorfdir. Shuning uchun, akslantirish yordamida aniqlangan elementar egri chiziqni ixtiyoriy intervalning boshqa gomeomorf akslantirishdagi obrazi deb qarash mumkin. Haqiqatdan, agar gomeomorfizm bo'lsa, unda chiziqni akslantirish yordamida bera olamiz. Bu yerda Gomeomorfizmlarning kompozitsiyasi sifatida ham gomeomorfizmdir. Demak, har bir elementar egri chiziqni cheksiz ko'p usullar bilan parametrlash mumkin. Chizma-1 Chizma-2 differensial geometriya kursida egri chiziq ko'rinishdagi parametrik tenglamalar yordamida o'rganiladi, yani ni aniqlovchi akslantirish tanlanib, uning parametrik tenglamalari yoziladi. Bu holda chiziqni parametrlangan elementar egri chiziq deb ataymiz. Matematik analiz asosiy matematik apparat bo'lganligi uchun funksiyalarga qo'shimcha shartlar qo'yamiz. ta'rif-2. Berilgan elementar egri chiziqni differensiallanuvchi funksiyalar yordamida parametrlash mumkin bo'lsa, u silliq elementar egri chiziq deb ataladi. Izoh: Zarur bo'lgan hollarda, biz yuqori tartibli hosilalarning mavjud va uzluksiz bo'lishini talab qilamiz. Misollar: 1. Har qanday to'g'ri chiziq elementar egri chiziqdir. Haqiqatdan, agar to'g'ri chiziq parametrik tenglamalar bilan berilgan bo'lsa, moslik interval bilan to'g'ri chiziq nuqtalari o'rtasida topologik akslantirish bo'ladi. 2. Ochiq intervalda aniqlangan har qanday uzluksiz funksiyaning grafigi elementar egri chiziqdir. Haqiqatdan ham, agar funksiya da aniqlangan va uzluksiz bo'lsa, moslik interval bilan funksiya grafigi nuqtalari o'rtasida gomeomorf akslantirishni beradi. 3. Biz birinchi kursda o'rgangan ikkinchi tartibli chiziqlardan faqat parabola elementar egri chiziq bo'ladi. Haqiqatdan parabola ochiq intervalning topologik akslantirishdagi obrazidir, chunki parabolani uzluksiz funksiyaning grafigi sifatida tasvirlash mumkin. ta'rif-3: Bog'lanishli to'plamga tegishli har qanday nuqtaning birorta atrofi mavjud bo'lib, to'plamning atrofdagi qismi elementar egri chiziq bo'lsa, sodda egri chiziq deb ataladi. Aylana elementar egri chiziq emas, chunki u hech qanday ochiq intervalga gomeomorf emas. (nima uchun? bu savolga javobni o'quvchilar 1-bobdan topishi mumkin). Lekin u sodda egri chiziqdir. Buni ko'rsatish uchun aylana yotuvchi tekislikda dekart koordinatalar sistemasini kiritamiz ...