Egrilik indikatrisasi. Eyler formulasi qo'shma turlar

Egrilik indikatrisasi. Eyler formulasi qo'shma turlar Reja: Sirt va yopishma paraboloidning birinchi va ikkinchi kvadratik formalari. Egrilik indikatrisasi bilan normal egrilik orasidagi bog'lanish. Eyler formulasi. Qo'shma turlar. Sirt ustidagi 0 nuqtani koordinata boshi va bu nuqtadagi urinma tekislikni (xu) tekisligi sifatida qabul qilamiz. U holda bizga ma'lumki, 0 nuqta atrofida sirt tenglamasi z=(fxx2+2fxyxy+fyy2)+(x,y)(x2+y2) ko'rinishda bo'ladi. Yopishma paraboloid tenglamasi esa z=(fxx2+2fxyxy+fyy2) va Dyupen indikatrisasi (fxx2+2fxyxy+fyy2)=1 ko'rinishda bo'ladi. Yuqoridagi tenglamalardan shu narsa ko'rinadiki, sirt va uning yopishma paraboloidining 0 nuqtadagi birinchi va ikkinchi kvadratik formulalari bir xil, ya'ni ds2=dx2+dy2 =fxxdx2+2fxydxdy+fyydy2 bu yerda orqali 2-kvadratik formani belgiladik. Bundan sirt va uning yopishma paraboloidining bir xil yo'nalishdagi normal egriliklari o'zaro teng, yani kn= (1) Endi Dyupen indikatrisasini ko'ramiz. Q(x,y) indikatrisaning ixtiyoriy nuqtasi bo'lsin. 0Q yo'nalish bo'yicha X,Y koordinatalarga bog'lik bo'lgan normal egrilik uchun ifodani topamiz. (1) tenglikda dx:dy=x:y ekanini eotiborga olib x va y o'zgaruvchilarga o'tamiz, yani kn= (2) Q nuqta indikatrisada yotgani uchun (2) tenglikning surati 1 ga teng. Maxraji esa 0Q2 ga teng. Bundan kn= (3) (3) Formula indikatrisa bilan normal egrilik orasidagi bog'lanishni ifodalaydi. Shuningdek (3) dan foydalanib quyidagi ikkita muhim xulosani qilamiz; 1) Asimptotik yo'nalish bo'yicha sirtning normal egriligi 0 ga teng; 2) Sirtning normal egriligi bosh yo'nalishlar bo'yicha o'zining ekstremal qiymatlariga erishadi. Endi x va u o'qlarning yo'nalishlari sifatida sirtning bosh yo'nalishlarini olamiz. U holda bizga ma'lumki, fxy=0 bo'ladi. (1) tenglik quyidagi ko'rinishni oladi: kn=fxx+fyy Oxirgi tenglikda dy=0 deb, k'n=fxx ni dx=0 deb fyy=kn ni topamiz. =sos, =sin belgilashni kiritib, kn=k'ncos+knsin (4) Formulani olamiz. Bu yerda k'n va kn lar bosh yo'nalishlar bo'yicha olingan normal egriliklar (4) Formula Eyler formulasi deb yuritiladi. Yuqorida ko'rib o'tilgan sirt qo'shma yo'nalishlar tushunchasi Dyupen indikatrisasi bilan bog'likdir. Shu munosabat bilan sirtning u,v parametrlari bilan uzviy bog'langan qiyshiq burchakli x,y,z koordinat sistemasida sistemasida yopishma paraboloid va Dyupen indikatrisasining tenglamalarini topamiz. Shuning uchun o'qlar bo'yicha bazis vektorlar sifatida ru, rv va n vektorlarni olamiz. Aytaylik, sirtning 0 nuqtasiga parametrlarning u=u0, v=v0 qiymatlari mos kelsin. Sirt tenglamasini 0 nuqta atrofida quyidagicha yozishimiz mumkin, yani r=ru(u-u0)+rv(v-v0)+ruu(u-u0)2+2ruv(u-u0)(v-v0)+ rvv(v-v0)2+ +(u,v)[(u-u0)2+(v-v0)2] Shu narsani aytish mumkinki, tenglamasi z=(Lx2+2Mxy+Ny2) bo'lgan paraboloid sirtning 0 nuqtasidagi yopishma paraboloiddan iborat bo'ladi. Xaqiqatan xam, uni quyidagi x=(u-u0) y=(v-v0) z=(L(u-u0)2+2M(u-u0)(v-v0)+N(v-v0)2) parametrik tenglama bilan berish mumkin. Sirt bilan bu paraboloidning 0 nuqtasidagi 1-va2- kvadratik formalari bir xildir, shuningdek ularning normal egriliklari xam bir xildir. Yopishma paraboloid tenglamasidan Dyupen indikatrisasining tenglamasini olishimiz mumkin, yani Lx2+2Mxy+Ny2=1 Ma'lumki, dx:dy yo'nalish bilan x:y yo'nalishlarning bu egri chiziqqa nisbatan qo'shma yo'nalishlari bo'lish sharti ...