Frene formulasi. Egri chiziqning evolyuta va evolventasi

Frene formulasi. Egri chiziqning evolyuta va evolventasi Reja: Frene formulalari. Chiziqning natural tenglamalari. Egri chiziqning evolpyuta va evolventasi. Egri chiziqning bir nuqtasidan chiquvchi va mos ravishda , , vektorlarga parallel bo'lgan uchta yarim to'g'ri chiziqlari, uchi berilgan nuqtada bo'lgan uchyoqli burchakning qirralaridan iborat bo'ladi. Bu uchyoqli burchakni egri chiziqning tabiiy uchyoqli burchagi deyiladi. Endi , , vektorlarning hosilalarini shu vektorlarning o'zlari orqali ifodalanishini topamiz. Ma'lumki, '=r(s)=k (1) bo'ladi. ' vektorni ifodalash uchun esa bu vektorni vektorga parallel ekanligini eslash kifoya, yani ''=x. Bundan '= (2) Nixoyat, ' ni ifodalash uchun =[,] tenglikdan foydalanamiz, yani =[,]'=[',]+[,']=[,]+[,k]=[,]+k[,]=-k- Shunday qilib, biz quyidagi formulalarni topdik, yani '=k, '=-k-, '= (3) Bu formulalar Frene formulalari deb yuritiladi. Ma'lumki, egri chiziqning egriligi va buralishi egri chiziq bo'ylab yoy uzunligi s ning funksiyalaridan iborat. Shuning uchun egrilik va buralishni aniqlovchi k=k(s), =(s) (4) funksiyalar egri chiziqning natural tenglamalari deyiladi. Shu narsani eslatish mumkinki, egri chiziq fazoda o'zining natural tenglamalari bilan doimiy songa qadar aniqlik bilan berilishi mumkin. Tekis chiziqning evolpyuta va evolventasi. Regulyar (uch marta differensiallanuvchi) egri chiziq va unda yotuvchi ixtiyoriy R gna berilgan bo'lsin. r=r(s) uning tabiiy tenglamasi bo'lsin. Ta'rif. Egri chiziqning R nuqtasidagi egriligiga teskari bo'lgan miqdor egri chiziqning sha nuqtasidagi egrilik radiusi deyiladi va R bilan belgilanadi. Ta'rifdan R=1k ga teng bo'ladi. Agar egri chiziqning R nuqtasidan o'tuvchi normalida vektor yo'nalishida egrilik radiusiga teng kesmani ajratsak, u holda bu kesmaning oxiri egri chiziqning shu nuqtadagi egrilik markazi deyiladi. Ta'rif. Egri chiziqning egrilik markazlarining geometrik o'rni egri chiziqning evolpyutasi deyiladi. Evolyutaning tenglamasi r*=r+1k ko'rinishda bo'ladi. Endi evolventasi tushunchasini aniqlaymiz. Egri chiziqning biror nuqtasini hisob boshi deb qabul qilamiz va bu nuqtada s=0 deb olamiz. Egri chiziq yoyining barcha nuqtalarida urinma bo'ylab agar s0 bo'lsa, unga qarama-qarshi yo'nalishda yoy uzunligi s ga teng kesmalar ajratamiz. Bu kesmalarning ikkinchi uchlarining geometrik o'rni egri chiziqning evolventasi deyiladi. Evolpvetaning tenglamasi R=r-st ko'rinishda aniqlanadi. Egri chiziq o'zining evolventasi uchun evolyuta bo'lib hisoblanadi. Xaqiqatan xam, evolpvetaning urinma vektori R'=r'--sk=-sk. Bu tenglikdan egri chiziqning urinmasi evolpveta uchun normala bular ekan. Bu esa yuqoridagi fikrimizni isbotlaydi. Evolyuta va evolventa texnik muhim tadbiqlarga egadir. Asosiy adabiyotlar: 1. Aleksandrov A.D., Netsvetaev N.Yu. Geometriya. M.,Nauka,1990. 2. Narmanov A.Ya. differensial geometriya. T. Universitet, 2003 3. Pogorelov A.V. differensialnaya geometriya. M.,1974. 4. Narmanov A.Ya. va boshqalar. Umumiy topologiyadan mashq va masalalar to'plami. T.Universitet, 1996. 5. Sbornik zadach po differensialnoy geometrii. Pod red. Fedenko A.S. M., 1979. 6.Bakelman I.Ya., Verner A.L., Kantor ...