Geodezik chiziqlar. Gauss - Bonne teoremasi

Geodezik chiziqlar. Gauss-Bonne teoremasi Regulyar sirt va unda yotuvchi ikki marta differensiallanuvchi parametrlangan tegri chiziq tenglama bilan berilgan bo'lsin. ta'rif. Parametr ning har bir qiymatida vektor sirtning nuqtasidagi urinma tekislikka perpendikulyar bo'lsa, bunday chiziq geodezik chiziq deb ataladi. Bu yerda radius vektori bo'lgan nuqta. Teorema-18. Geodezik chiziq tenglama bilan berilgan bo'lsa, uning tezlik vektori o'zgarmas uzunlikka ega. Isbot. Skalyar ko'paytma uzunlik kvadrati bo'lganligi uchun uni differensiallab uning hosilasi nolga teng ekanligini ko'rsatamiz. Haqiqatan, . Demak, o'zgarmasdir. Teorema-19. Geodezik chiziq tenglama bilan berilgan bo'lib, differensiallanuvchi funksiya yordamida parametrlangan chiziq hosil bo'lsin. Parametr almashtirilgandan keyin chiziq geodezik bo'lishi uchun bo'lishi zarur va etarlidir. Isbot. formula parametrni almashtirish formulasi bo'lgani uchun (yoki ) deb faraz qilishimiz mumkin. Agar tenglama geodezik chiziqni aniqlasa, va ni hosil qilamiz. bo'lgani uchun hosil bo'ladi. Demak, . Endi deb faraz qilsak, tenglik va vektorlarning kollinear ekanligini ko'rsatadi. Natija. Har qanday geodezik chiziq tabiiy parametrga nisbatan ham geodezik chiziq bo'ladi, chunki s(t) yoy uzunligi uchun tenglik o'rinlidir. Endi geodezik chiziqlar uchun differensial tenglamalar sistemasini keltirib chiqaramiz. Regulyar sirtning parametrlash usuli tenglama bilan berilgan bo'lsin. Agar geodezik chiziqning ichki koordinatalardagi tenglamalari ko'rinishda bo'lsa, 9-paragrafdagidek belgilash kiritib tengliklarni hosil qilamiz. Endi ifodalar uchun derivatsion formulalarni ishlatib ifodani hosil qilamiz. Endi vektorning vektorga kollinear ekanligi va vektorlarning chiziqli erkli ekanligidan kelib chiqadi. Demak, tenglamalar geodezik chiziqni aniqlash uchun funksiyalar (1) sistemaning yechimi bo'lishi zarur va etarlidir. Teorema-20. Regulyar sirtning har bir nuqtasidan har bir yo'nalish bo'yicha yagona geodezik chiziq chiqadi. Isbot. Berilgan nuqta va urinma vektor uchun (1) sistemaning boshlang'ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi yo'nalish bo'yicha geodezik chiziqni aniqlaydi. Geodezik chiziqlarni xarakterlovchi kattalik, geodezik egrilik tushunchasini kiritamiz. Regulyar sirtning nuqtasidan o'tuvchi γ egri chiziq berilgan bo'lsin. Chiziqning nuqta atrofidagi qismining nuqtadan o'tuvchi urinma tekislikka proyeksiyasini γ0 bilan belgilaymiz. Tabiiyki, γ0 ham silliq egri chiziq bo'ladi. proyeksiyalash natijasida hosil bo'lgan γ0 egri chiziqning nuqtadagi egriligini γ chiziqning geodezik egriligi deb ataymiz. Bizning maqsadimiz, γ geodezik chiziq bo'lishi uchun uning geodezik egriligi nolga teng bo'lishi zarur va etarli ekanligini ko'rsatishdir. Buning uchun γ0 va γ chiziqlar egriliklari orasidagi bog'lanishlarni topamiz. Avvalo, γ chiziq nuqtalaridan ( nuqtadan o'tuvchi) urinma tekislikka perpendikulyar to'g'ri chiziqlar o'tkazib, silindrik sirt hosil qilib, uni bilan belgilaymiz. Bu silindrik sirtni  tekislik bilan kesganimizda γ0 hosil bo'ladi (- sirtning nuqtadagi urinma tekisligi). Demak, silindr uchun γ0 normal kesim va uning bosh normali ning normaliga kollineardir. γ va γ0 chiziqlar umumiy urinmalarga ega. Shuning uchun, silindrik sirtga nisbatan Mene teoremasidan foydalanib tenglikni hosil ...