Izometrik akslantirishlar

Izometrik akslantirishlar ta'rif-1. Regulyar F1 va F2 sirtlar uchun silliq akslantirish berilgan bo'lib, har qanday nuqta uchun akslantirish skalyar ko'paytmani saqlasa (yani chiziqli izometrik akslantirish bo'lsa), g izometrik akslantirish deyiladi. Demak, g izometrik akslantirish bo'lsa, ixtiyoriy nuqta va ixtiyoriy vektorlar uchun tenglik o'rinli bo'ladi. bu yerda I1 va I2 mos ravishda F1 va F2 sirtlarning 1-kvadratik formalaridir. Izometrik akslantirishlar haqida quyidagi teoremalarni isbotlaymiz. Teorema-7. Izometrik akslantirish diffeomorfizmdir. Isbot. Silliq akslantirish uchun teskari akslantirish mavjud va differensiallanuvchi bo'lsa, g diffeomorfizm deyiladi. Demak izometrik akslantirishning diffeomorfizm ekanligini ko'rsatish uchun g-1 ning mavjud va differensiallanuvchi ekanligini ko'rsatish kerak. Faraz qilaylik, sirt parametrlash usuli bilan, sirt parametrlash usuli bilan berilgan bo'lsin. differensiallanuvchi akslantirish bo'lganligi uchun, ta'rifga ko'ra differensiallanuvchidir. Biz akslantirishning differensiallanuvchi ekanligini ko'rsatishimiz kerak. Akslantirish g izometrik bo'lganligi uchun uning differensiali dg chiziqli erkli vektorlarni chiziqli erkli vektorlarga o'tkazadi. Haqiqatan ham, sirtning r nuqtasidagi va urinma vektorlari chiziqli erkli bo'lsa, bo'ladi. Lekin bo'lganligi uchun kelib chiqadi. Bu esa vektorlarning chiziqli erkli ekanligiga teng kuchlidir. Agar bo'lsa, , bo'ladi. Shuning uchun akslantirishning rangi ikkiga tengdir. ×unki akslantirishning rangi ikkidan kichik bo'lsa, vektorlar chiziqli bog'lanishli bo'ladi. Shunday qilib, sohaning ixtiyoriy nuqtasida akslantirish rangi ikkiga teng bo'ladi. Agar akslantirish (1) funksiyalar yordamida berilgan bo'lsa, ning har bir nuqtasida tenglik o'rinli bo'ladi. Demak, (1) tenglamalar sirtning regulyar (f,) parametrlash usulini aniqlaydi. Teskari funksiya haqidagi teoremaga asosan ([2]ga qarang) mavjud. Demak, ham mavjud va ning differensiallanuvchi ekanligi tenglikdan kelib chiqadi. Berilgan silliq akslantirish izometriya bo'lishini tekshirish uchun quyidagi teoremalardan foydalaniladi. Teorema-8. Silliq akslantirish izometriya bo'lishi uchun bu akslantirishda ixtiyoriy chiziqlar yoyi uzunligi saqlanishi zarur va etarlidir. Isbot. Izometrik akslantirish va da yotuvchi egri chiziq tenglama yordamida berilgan bo'lsin. Shunda bu chiziq yoyi uzunligi formula bilan hisoblanadi. Agar chiziqning urinma vektori bo'lsa, g izometrik bo'lganligi uchun tenglik o'rinli. Demak, . Aksincha, silliq akslantirish berilgan bo'lib, u ixtiyoriy chiziq yoyi uzunligini saqlasin. Ixtiyoriy nuqta va vektorni qaraylik. Ixtiyoriy urinma vektor birorta egri chiziqning r nuqtasidagi urinma vektori bo'lganligi uchun, shunday silliq egri chiziq mavjudki, uning r nuqtadagi urinma vektori ga teng. Faraz qilaylik, chiziq tenglama bilan berilgan va bo'lsin. Teorema shartiga ko'ra (2) bu yerda egri chiziqning urinma vektori. Biz (2) tenglikning ikkala tomoni t bo'yicha differensiallaymiz va tenglikni hosil qilamiz. Demak differensial ixtiyoriy vektorning uzunligini saqlaydi, yani . Endi ixtiyoriy vektorlar uchun ni hosil qilamiz. Demak, skalyar ko'paytmani saqlaydi. Teorema-9. Silliq akslantirish izometriya bo'lishi uchun ga tegishli ixtiyoriy r nuqtaning atrofi uchun ning shunday (f,G) parametrlash usuli mavjud bo'lib, va ...