Matritsalarning yig'indisi va ko'paytmasining determinanti. Teskari matritsa. Satr va ustunlarning chiziqli bog'liqligi

Matritsalarning yig'indisi va ko'paytmasining determinanti. Teskari matritsa. Satr va ustunlarning chiziqli bog'liqligi Reja: Matritsaning ko'paytmasi determinanti Teskari matritsa Satr va ustunlarning chiziqli bog'liqligi Matritsaning ko'paytmasi determinanti Teorema. Matritsalar ko'paytmasining determinanti ularning determinantlari ko'paytmasiga teng, yani Isbot. n - chi tartibli Ye - birlik matritsani qaraymiz, Malumki bu matritsa uchun = munosabat o'rinli bo'ladi. Shuningdek blok matritsaning determinanti tushunchasiga ko'ra quyidagi tengliklar ham o'rinli bo'ladi: = = Shu tengliklarning o'ng qismlarini bir - biriga tengligini isbotlaymiz. Determinantning xossalariga ko'ra = == bo'ladi, bunda Ikkita matritsalar yig'indisining determinanti ularning determinantlari yig'indisiga teng emas. A+B=+=; =+=++ +. Teskari matritsa n-tartibli matritsa berilgan bo'lsin C matritsaga A matritsaga o'ngdan teskari matritsa deyiladi, agar ΑC=E bo'lsa. B matritsaga Α matritsaga chapdan teskari matritsa deyiladi, agar BΑ=E bo'lsa. E har doim birlik matritsa. Agar B matritsa o'ngdan, C matritsa esa chapdan Α matritsa teskari bo'lsa, unda ular teng bo'ladi va quyidagicha yoziladi: B=BE=B(ΑC)=(BΑ)C=EC=C. Teorema. Α n-tartibli kvadrat matritsa Α matritsaning teskarisi mavjud bo'lishi uchun , detΑ≠0 bo'lishi zarur va etarli. Isbot. Zarurligi. Α matritsaning teskarisi mavjud bo'lsin, uni B deb belgilaymiz ΑB=E unda det(ΑB﴿=detΑ*detB=detE detΑ*detB=1 detΑ≠0 bo'ladi. Etarligi. detΑ=∆≠0 Kvadrat matritsaning determinanti nolga teng bo'lsa, u maxsus, aks holda maxsusmas matritsa deyiladi. Bunga mos holda nomalumlarning chiziqli almashtirilishi ham bu almashtirishning koeffitsiyentlaridan tuzilgan determinantning nolga teng yoki teng emasligiga qarab, maxsus yoki maxsusmas deyiladi. Hech bo'lmaganda bittasi maxsus bo'lgan matritsalarning ko'paytmasi maxsus matritsa bo'ladi. Istalgan maxsusmas matritsalarning ko'paytmasi maxsusmas matritsa bo'ladi. Bu yerda matritsalarni ko'paytirish bilan chiziqli almashtirishlarni ketma-ket bajarish orasidagi bog'lanishga ko'ra quyidagi davo kelib chiqadi: bir nechta chiziqli almashtirishni ketma-ket bajarishning natijasi berilgan barcha almashtirishlar maxsusmas bo'lgan holda va faqat shu holda maxsusmas almashtirish bo'ladi. Matritsalarni ko'paytirishda bu rolni ushbu birlik matritsa bajaradi, shu bilan birga u berilgan tartibli ixtiyoriy A matritsa bilan o'rin almashish xossasiga ega: AE=EA=A Bu tengliklar yo matritsalarni ko'paytirish qoidalarini bevosita qo'llanish orqali yoki birlik matritsa nomalumlarni aynan chiziqli almashtirilishi ga mos keladi degan izoh asosida isbotlanadi (aynan chiziqli almashtirishni ixtiyoriy boshqa bir chiziqli almashtirishdan oldin yoki keyin bajarilishi, ravshanki, bu almashtirishni o'zgartirmaydi). E matritsa A - istalgan matritsa bo'lganda (2.1) shartni qanoatlantiruvchi yagona matritsa ekanligini qayd qilib o'taylik. Haqiqatan ham, agar shunday xossaga ega bo'lgan yana bir E' matritsa mavjud bo'lganda edi, u holda quyidagiga ega bo'lar edik: E'E=E', E'E=E, bu yerdan E'=E Berilgan A-1 matritsa uchun teskari matritsaning mavjud bo'lishi haqidagi masala anchagina murakkabdir. Matritsalarni ko'paytirish nokommutativ bo'lganligi sababli hozircha o'ng teskari matritsa haqida so'z yuritamiz, yani shunday ...