Matritsaning rangi tushunchasi. Bazis minor haqidagi teorema. Determinantning nolga teng bo'lishining zaruriy va etarli sharti

Matritsaning rangi tushunchasi. Bazis minor haqidagi teorema. Determinantning nolga teng bo'lishining zaruriy va etarli sharti Quyidagi matritsa berilgan bo'lsin. ta'rif. A - matritsaning r - chi tartibli minori deb, A - matritsaning r ta satri va r ta ustunidan tashkil topgan r - chi tartibli determinantga aytiladi, bunda r = min(m, n ). A matritsada r - chi tartibli noldan farqli minorlar mavjud bo'lsin. Barcha (r + 1) - chi tartibli va undan yuqori tartibli minorlar nolga teng bo'lsin. ta'rif. Yuqoridagi ikkita shartni qanoatlantiruvchi r soniga A matritsaning rangi deyiladi va rang A = r deb yoziladi. Agar A matritsada yuqoridagi ikki shartni qanoatlantirsa, unda noldan farqli r - chi tartibli minorga bazis minor deyiladi. Odatda bazis minordagi satrlar va ustunlar bazis satrlari hamda bazis ustunlari deyiladi. Teorema (Bazis minor haqidagi teorema). Bazis satr (ustun)lar chiziqli erklidir. Matritsaning ixtyoriy satri (ustuni) bazis satr (ustun) larning chiziqli kombinatsiyasi orqali ifodalanadi. Isbot. Teoremani faqat satrlar uchun isbotlaymiz (ustunlar uchun xuddi shuningdek isbotlanadi). Teskarisidan faraz qilaylik, yani bazis satrlar chiziqli bog'liq bo'lsin. Malum ta'rifga ko'ra, ulardan biri qolganlarining chiziqli kombinatsiyasi orqali ifodalanadi. Agar shu satrdan qolgan satrlarning chiziqli kombinatsiyasini ayirsak, unda bazis satrning bitta satri nollardan iborat bo'lib qoladi. U holda qaralayotgan determinant nolga teng. Bu esa bazis minorning ta'rifiga zid. Demak qilgan farazimiz noto'g'ri bo'lib, bundan bazis satrlarning chiziqli erkli bo'lishi kelib chiqadi. Endi teoremani ikkinchi qismini isbotlaymiz. Qulaylik uchun A - matritsaning bazis minori uning chap yo'qori qismiga joylashgan bo'lsin deb faraz qilamiz. Yani . Malumki, barcha tartibli determinantlar uchun tenglik o'rinli bo'ladi, chunki agar yoki bo'lsa, determinant ikkita bir xil satr yoki ustunga ega bo'lib qoladi, agar va larning ikkalasi ham dan katta bo'lsa, bazis minorning ta'rifiga ko'ra barcha tartibli determinantlar nolga teng. Oxirgi determinantni ustun bo'yicha yoyamiz: bazis minorga mos algebraik to'ldiruvchi bo'lganligi uchun noldan farqlidir. Shuning ko'ra tenglikni hosil qilamiz. Agar deb belgilash kiritsak, unda tenglik hosil bo'ladi. Oxirgi tenglikdan A - matritsaning ixtiyoriy satri dastlabki ta satrining chiziqli kombinatsiyasidan iborat ekanligini bildiradi. Teorema isbotlandi. ta'rif. Berilgan matritsada elementar almashtirish deb, matritsaning biror satri (ustuni) elementlarini ixtiyoriy noldan farqli haqiqiy songa ko'paytirish, biror haqiqiy songa ko'paytirib boshqa bir satr (ustun)ga qo'shishga aytiladi. Teorema. Matritsada elementar almashtirish natijasida rangi o'zgarmaydi. Teoremaning isboti determinantning xossalaridan kelib chiqadi. Teorema: n- chi tartibli determinant nolga teng bo'lishligi uchun, uning satrlari (ustunlari) chiziqli bog'liqli bo'lishi zarur va etarli. Isbot. Zarurligi. Shartga ko'ra n- chi tartibli determinant nolga teng bo'lsin. Unda berilgan n- chi ...