Noevklid geometriyaning ochilishi

Noevklid geometriyaning ochilishi. XVII asr va XIX asrning birinchi yarmida yashab ijod qilgan ko'pgina geometrlar V postulatni isbotlash uchun quyidagicha usul qo'llashgan. Beshinchi postulatni uning inkori yoki uning inkoriga ekvivalent bo'lgan tasdiq bilan almashtirilgan. Bu usul bilan o'zgartirilgan postulatlar va aksiomalar sistemasiga tayanib, mumkin bo'lgan va ulardan kelib chiqadigan barcha jumlalar Yevklidning «Negizlar» asaridagiga o'xshash isbotlangan. Agar V postulat qolgan postulat va aksiomalardan kelib chiqsa, u holda o'zgartirilgan postulat va aksiomalar sistemasi ziddiyatga keladi. Shuning uchun qachondir bir-biriga zid keladigan jumlalarga kelamiz. Natijada, V postulat isbot bo'ladi, deb fikr yuritishgan. Xuddi shu usul bilan V postulatni isbotlashga D. Sakkeri (1667-1733), N. G. Lambert (1728-177) va A. M. Lejandrlar (1752-1833) urinishgan. Sakkeri (1733 y) asosidagi ikkita burchagi to'g'ri, yon tomonlari teng bo'lgan to'rtburchak qaraydi. Bu to'rtburchakning qolgan ikkita burchaklari o'zaro teng ekanligini ko'rsatish mumkin. Sakkeri bu burchaklar uchun quyidagicha uchta gipotezani o'rganadi: 1) Ikkala burchagi to'g'ri; 2) Ikkala burchagi o'tmas; 3) Ikkala burchagi o'tkir. Sakkeri to'g'ri burchak gipotezasi V postulatga ekvivalentligini isbotlaydi, yani to'g'ri burchak gipotezasini postulat qilib olib V postulatni isbotlaydi va aksincha, V postulatdan foydalanib to'g'ri burchak gipotezasini isbotlaydi. O'tmas burchak gipotezasini postulat sifatida olib ziddiyatga keladi, so'ngra o'tkir burchak gipotezasini postulat sifatida oladi. Natijada, Sakkeri o'rgangan geometriya nuqtai nazaridan bemani har xil xulosalarga keladi. Masalan: Parallel to'g'ri chiziqlar faqat bitta umumiy perpendikulyarga ega va perpendikulyarning ikkala tomonida to'g'ri chiziqlar cheksiz uzoqlashishadi yoki ular umumiy perpendikulyarga ega emas bitta yo'nalish bo'yicha cheksiz yaqinlashishadi, ikkinchi yo'nalish bo'yicha cheksiz uzoqlashishadi. Sakkeri mantiqiy ziddiyatga kelishga harakat qiladi va hisoblashlardagi xatoliklar natijasida ziddiyatga keladi. Lambert (1766 y) Sakkerinikiga o'xshaydigan to'rtburchak qaraydi. U uchta burchagi to'g'ri bo'lgan to'rtburchakni olib, to'rtinchi burchagi uchun Sakkeriga o'xshash uchta gipoteza qaraydi. Lambert to'g'ri burchak gipotezasi V postulatga ekvivalentligini isbotlaydi, hamda o'tmas burchak gipotezasi mumkin emas degan xulosaga keladi. Sakkeriga o'xshash Lambert o'tkir burchak gipotezasini postulat sifatida olib ko'pgina natijalar oladi. Lambert ham Sakkeri singari mantiqiy ziddiyat topa olmaydi. Lambert o'tkir burchak gipotezasi natijalarini rivojlantira borib, sfera ustidagi geometriyaga o'xshashligini aniqlaydi va «o'tkir burchak gipotezasi qaysidir mavhum sferada o'rinli» deb to'g'ri fikrni oldinga suradi. XVII asr geometrlari ichidan V postulat haqidagi gipotezani to'g'ri yechimiga Lambert yaqin kelgandi. Lejandr V postulatni isbotlash uchun quyidagicha uchta gipoteza qaraydi: 1. Uchburchak ichki burchaklari yig'indisi 2d ga teng. 2. Uchburchak ichki burchaklari yig'indisi 2d dan katta. 3. Uchburchak ichki burchaklari yig'indisi 2d dan kichik. Lejandr birinchi gipoteza V postulatga ekvivalentligini, ikkinchi gipoteza mumkin emasligini isbotlaydi va nihoyat uchinchi gipotezani qabul qilib ziddiyatga uchraydi. ...