Qutb koordinata sistemasidagi tenglamalar

Qutb koordinata sistemasidagi tenglamalar a) Parabola kanonik tenglama bilan berilgan bo'lsa, qutbni parabola fokusiga joylashtirib, qutb o'qi sifatida abssissa o'qini olib parabola tenglamasini qutb koordinatalar sistemasida yozaylik.Agar biz almashtirishlar bajarsak tengliklar o'rinli bo'ladi. Bu yerda nuqtaning qutb koordinatalari bo'lib, agar nuqta parabolaga tegishli bo'lsa, uning fokal radiusiga tengdir. Biz tenglikda ning nuqtadan direktrisagacha bo'lgan masofaga tengligini hisobga olib ifodani yuqoridagi tenglikka qo'ysak munosabatni hosil qilamiz. Bu munosabat parabolaning qutb koordinatalar sistemasidagi tenglamasidir. b) Ellipsning qutb koordinatalar sistemasidagi tenglamasini keltirib chiqaramiz. Buning uchun qutbni ellipsning chap fokusiga joylashtirib, abssissa o'qini qutb o'qi sifatida olamiz. Ellipsning kanonik tenglamasini qutb koordinatalar sistemasiga o'tkazish uchun almashtirishlar yordamida yangi dekart koordinatlar sistemasini kiritamiz. Bu koordinatalar sistemasi va qutb koordinatalar orasidagi bog'lanish boshi formulalar yordamida beriladi. Ellipsning nuqtasi uchun chap fokal radius uning qutb radiusiga tengligidan foydalanib tenglikni yozamiz. Bu tenglikdagi ifodani tenglikka qo'ysak tenglamani hosil qilamiz. Bu yerda tenglikdan foydalandik. в) Giperbola tenglamasini qutb koordinatalar sistemasida yozish uchun uning har qismi uchun mos ravishda qutb koordinatalar sistemasi kiritamiz. Uning o'ng qismi uchun qutb boshini giperbolaning ung fokusiga joylashtiramiz va abssissa o'qini qutb o'qi sifatida olamiz. Giperbola nuqtasi uchun qutb radiusi uning o'ng fokal radiusiga teng bo'lganligi uchun ifodani hosil qilamiz.Biz bilamizki,agar dekart koordinatalar sistemasi uchun qutb boshi koordinata boshida joylashgan va qutb o'qi abssisa o'qi bilan ustma-ust tushsa,qutb koordinatalar sistemasi vakoordinatalar sistemasi orasidagi bog'lanish formulalar yordamida beriladi.Bu yangikoordinatalar sistemasi va giperbola tenglamasi berilgankoordinatalar sistemasi orasidagi bog'lanish esa ko'rinishda bo'ladi.Biz bu tengliklarning birinchisidan foydalanib tenglikni hosil qilamiz.Yuqoridagi ifodani bu tenglikga qo'ysak tenglamani hosil qilamiz. Bu yerda tenglikdan foydalandik. Biz giperbola chap shoxining tenglamasini qutb koordinatalar sistemasida yozish uchun qutb boshini chap fokusga joylashtiramiz va abssissa o'qini qarama-qarshi yonalish bilan qutb o'qi sifatida olamiz.Biz agar formulalar bilan yangi dekart koordinatalar sistemasi kiritsak,ular uchun formulalar o'rinli bo'ladi.Bu yerda qurb radiuas chap fokal radiusga teng bo'lganligi uchun tenglik o'rinli bo'ladi.Bu tenglikdagi ning ifodasini yuqoridagi formulardan kelib chiqadiagan tenglikga qo'yib tenglamani hosil qilamiz.Bu yerda ham tenglik o'rinlidir. Demak, qutb koordinatalar sistemasida mos ravishda tanlanganda har qanday ikkinchi tartib chiziq tenglamasini ko'rinishda yozish mumkin ekan.Bu tenglama bo'lsa parabola, bo'lganda ellips va nihoyat bo'lganda giperbola tenglamasidir. Ellips, giperbola va parabolaning urinmalari Bu chiziqlarning har biri o'ziga tegishli har bir nuqtaning atrofida birorta differensiallanuvchi funksianing grafigi bo'ladi. Shuning uchun, bu chiziqlar urinmalarining tenglamalarini tuzishda biz maktab kursidan ma'lum bo'lgan tenglamadan foydalanishimiz mumkin. Misol uchun ellipsning ordinatalari manfiy bo'lmagan nuqtalardan iborat qismi , funksianing grafigi bo'ladi. Bu funksianinig hosilasini topsak, u ko'rinishda bo'ladi. Bu ...