Regulyar chiziqlar. Urinma va normal tekislik

Regulyar chiziqlar. Urinma va normal tekislik Elementar egri chiziqning nuqtasidan o'tuvchi urinma tushunchasini kiritib, uning tenglamasini keltirib chiqaraylik. Buning uchun nuqtadan to'g'ri chiziqni o'tkazaylik, bilan ga yaqin bo'lgan chiziqning birorta nuqtasini belgilaylik. Egri chiziqdagi va nuqtalar orasidagi masofani bilan, nuqtadan to'g'ri chiziqqacha bo'lgan masofani bilan belgilaylik. Agar, nuqta ga yaqinlasha borsa, tabiiyki, va masofalar nolga intiladi. Lekin, ifodaning nimaga intilishi haqida hech narsa deya olmaymiz. ta'rif: Egri chiziq ning nuqtasi ga intilganda ifoda nolga intilsa, to'g'ri chiziq, ning nuqtadagi urinmasi deb ataladi. Chizma-5 Agar bilan va to'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni belgilasak, bo'ladi. Demak, agar urinma bo'lsa, nuqta ga intilganda, to'g'ri chiziq to'g'ri chiziqqa intiladi. Aksincha nuqta ga intilganda to'g'ri chiziq birorta to'g'ri chiziqqa intilsin. Shunda, ravshanki urinma bo'ladi. Teorema-9. Regulyar egri chiziqning har bir nuqtasidan yagona urinma o'tadi. Agar egri chiziq, tenglama yordamida berilgan bo'lsa, nuqtadagi urinma vektorga paralleldir. Isbot. Avvalo, nuqtadan o'tuvchi urinma vektorga parallel ekanligini ko'rsataylik. Chiziqning nuqtasi parametrning qiymatiga, nuqta parametrning qiymatiga mos kelsa, áo'yoàäè. to'g'ri chiziq va to'g'ri chiziqlar orasidagi burchakning sinusi ga teng bo'lganligi uchun vektor ko'paytmaning aniqlanishiga muvofiq bo'ladi. Bu yerda bilan urinmaga parallel birlik vektorni belgilaganmiz. to'g'ri chiziq nuqtadan o'tuvchi urinma bo'lgani uchun, bo'ladi. Demak, Lekin, kasrning surat va maxrajini ga bo'lsak, munosabatni hosil qilamiz, teorema shartiga ko'ra regulyar egri chiziq bo'lgani uchun va demak, Bundan kelib chiqadiki, va vektorlar paralleldir. Endi nuqtadan o'tuvchi va vektorga parallel to'g'ri chiziq urinma bo'lishini ko'rsataylik. Yuqoridagi hisob-kitobdan ko'rinib turibdiki, Endi bu yerda, , bo'lganligi uchun Demak urinmadir. Yuqoridagi teoremadan foydalanib, urinmaga quyidagicha ta'rif berishimiz mumkin. ta'rif. Regulyar egri chiziq tenglama bilan aniqlansa, nuqtadan o'tuvchi va vektorga parallel to'g'ri chiziq ning nuqtasidan o'tuvchi urinmasi deb ataladi. Chizma-6 Analitik geometriya kursidan bilamizki, agar to'g'ri chiziqning bitta nuqtasi va yo'naltiruvchi vektori (yani unga parallel vektor) berilgan bo'lsa, uning tenglamasini tuza olamiz. Regulyar egri chiziq tenglama bilan aniqlansa uning nuqtasidan o'tuvchi urinma tenglamasi (-parametr) ko'rinishda bo'ladi. Regulyar egri chiziq parametrik tenglamalar yordamida, yani, sistema yordamida aniqlangan bo'lsa, nuqtadan o'tuvchi urinma tenglamasi ko'rinishda bo'ladi. Bu yerda . Regulyar egri chiziq tenglamalar yordamida berilsa, uning urinma tenglamasi ko'rinishda bo'ladi. Agar fazodagi egri chiziq tenglamalar yordamida aniqlangan va matritsaning rangi ikkiga teng bo'lsa, nuqtadan o'tuvchi urinma tenglamasi ko'rinishda bo'ladi. Bu yerda xususiy hosilalar nuqtada hisoblangan. Haqiqatan, birinchi paragrafdagi teoremaga ko'ra, nuqta atrofida egri chiziq tenglamalar yordamida aniqlanadi. Demak, tengliklarni differensiallab, tengliklarni olamiz. Bundan esa munosabatni hosil qilamiz. ta'rif. Egri chiziqning nuqtasidan o'tuvchi va urinmaga perpendikulyar ravishda o'tadigan tekislik egri chiziqning nuqtasidagi normal tekisligi ...