Sirtning birinchi kvadratik formasi. Sirt ustidagi chiziqlar orasidagi burchak

Sirtning birinchi kvadratik formasi. Sirt ustidagi chiziqlar orasidagi burchak Reja: Sirtning 1-kvadratik formasi. 1-kvadratik forma koeffitsiyentlari uchun ifodalar. Sirt ustidagi ikkita chiziqlar orasidagi burchak Ta'rifi. Sirt ustidagi chiziqlar orasidagi burchakni hisoblash uchun formula. Faraz qilaylik F elementar sirt (u,v) tekislikdagi G sohani topologik almashtirishdan hosil qilingan bo'lsin. G sohada tenglamasi u=u(t), v=v(t) bo'lgan egri chiziq olaylik. G sohani F sirtga o'tkazuvchi topologik almashtirish bu egri chiziqni sirt ustida yotuvchi qandaydir egri chiziqqa o'tkazadi. Agar F sirt tenglamasi r=r(u,v) ko'rinishda bo'lsa, egri chiziqning tenglamasi r=r(u(t), v(t)) ko'rinishda bo'ladi. egri chiziq yoyining uzunligi quyidagi formula bilan ifodalanadi: (1) bu yerda belgi integrallashni egri chiziq bo'ylab olinishini bildiradi. (1) tenglikdan ds2= (2) ni topamiz. (2) ning o'ng tomoni du va dv ga nisbatan kvadratik formadan iborat bo'lib, uni F sirtning 1-kvadratik formasi yoki chiziqli elementi deb yuritiladi. 1-kvadratik formaning koeffitsiyentlari uchun quyidagi belgilashlarni kiritamiz =Ye, =F, =G. (1) tenglikdan shu narsa kelib chiqadiki, sirt ustidagi chiziqning uzunligini hisoblash uchun sirtning 1-kvadratik formasini bilish yetarli ekan. Shuning uchun odatda 1-kvadratik formani sirtning metrikasini aniqlaydi deyiladi. Sirt ustida yotuvchi chiziqlar orasidagi burchak. Aytaylik u=u1(t), v=v1(t) va u=u2(t), v=v2(t) lar G sohada yotuvchi va (u0,v0) nuqta orqali o'tuvchi egri chiziq tenglamalari bo'lsin. G sohani F sirtga o'tkazuvchi topologik almashtirish bu egri chiziqlarni sirt ustida yotuvchi ikkita 1 va 2 chiziqlarga o'tkazadi. Ta'rif. Sirt ustida yotuvchi ikkita 1 va 2 chiziqlar orasidagi burchak deb, ularning R(u0,v0) umumiy nuqtalarida o'tkazilgan yarim urinmalar orasidagi burchakka aytiladi. Endi sirt ustidagi chiziqlar orasidagi burchakni hisoblash uchun formula topamiz. Ma'lumki, sos== = Agar u va v bo'yicha differensiallashni 1 chiziq bo'ylab d orqali 2 chiziq bo'ylab esa orqali belgilasak oxirgi formulani sodda ko'rinishda yozishimiz mumkin, ya'ni sos= (*) oxirgi formuladan shu narsa kurinadiki, sirt ustidagi egri chiziqlar orasidagi burchak xam 1-kvadratik forma orqali ifodalanar ekan. (*) formuladan koordinata to'rining ortogonallik shartini topish mumkin. Yani koordinata to'rining ortogonal bo'lishi uchun F=0 bo'lishi zarur va yetarlidir. Asosiy adabiyotlar: 1. Aleksandrov A.D., Netsvetaev N.Yu. Geometriya. M.,Nauka,1990. 2. Narmanov A.Ya. differensial geometriya. T. Universitet, 2003 3. Pogorelov A.V. differensialnaya geometriya. M.,1974. 4. Narmanov A.Ya. va boshqalar. Umumiy topologiyadan mashq va masalalar to'plami. T.Universitet, 1996. 5. Sbornik zadach po differensialnoy geometrii. Pod red. Fedenko A.S. M., 1979. 6.Bakelman I.Ya., Verner A.L., Kantor B.Ye. Vvedenie v differensialnuyu geometriyu v tselom. M., Nauka, 1973. 7. Sobirov M.A., Yusupov A.Ye. differensial geometriya kursi. T., O'qituvchi, 1965. ...