Sirtning ikkinchi kvadratik formasi

Sirtning ikkinchi kvadratik formasi Reja: Sirt ustida chiziq egriligi bilan sirtning normal egriligi orasidagi bog'lanish. Sirtning ikkinchi kvadratik formasi. Ikkinchi kvadratik forma koeffsientlri uchun ifodalar. Tenglamasi r=r(u,v) bo'lgan sirt ustida egri chiziq berilgan bo'lsin. egri chiziqda s tabiiy parametrni kiritamiz. U holda egri chiziq bo'ylab u va v lar s parametrning funksiyalari bo'ladi. Egri chiziq tenglamasi r=r(u(s), v(s)) ko'rinishda bo'ladi. Bizga ma'lumki rss=ky. Bu tenglikni sirtning birlik normal vektori n ga skalyar ko'paytirib, quyidagi rss=ksos (1) tenglikni olamiz. Bu yerda - va n vektorlar orasidagi burchak. (1) tenglikning chap tomonini quyidagicha shakl almashtirish qilamiz: rss=ruu+ rvv2+2 ruvu'v'+ rvv'2 bo'lgani uchun va run=0, rvn=0 ekanini eotiborga olsak: rssn=(ruun)u'2+2(rvvn)u'v'+(rvvn)v'2= == (2) (2) tenglik suratidagi ifoda kvadratik formadan iborat bo'lib, uni sirtning 2-kvadratik formasi deb yuritiladi va odatda bilan belgilanadi. Demak, = ikkinchi kvadratik formaning koffsientlari uchun quyidagi belgilashlarni kiritamiz: ruun=L; ruvn=M; rvvn=N. Bundan (1) formulaga asosan =ksos=Ldu2+2Mdudv+Ndv2 (3) bo'ladi. Bu formuladan shu narsa ma'lum bo'ladiki, ksos miqdor faqat egri chiziqning yo'nalishiga bog'lik ekan. Shuning uchun umumiy urinmaga ega bo'lgan barcha egri chiziqlar uchun ksos bir xildir. Ta'rif. Sirtning urinma tekislikka perpendikulyar tekislik bilan kesimi uning normal kesimi deyiladi. Ta'rif. Sirt normal kesimining egriligi sirtning berilgan nuqtadagi normal egriligi deyiladi va kp bilan belgilanadi. Agar egri chiziq sifatida sirtning normal kesimini olsak, u holda |sos|=1 bo'ladi. Demak, k|sos|=kn bo'ladi. Agar normal egrilik zarur ishorani belgilasak, u holda oxirgi tenglikni ksos=kn (4) ko'rinishda yozishimiz mumkin. Bunda kn= sirt ustidagi egri chiziq egriligi bilan sirtning normal egriligi orasidagi bog'lanishni ifodalovchi (4) tenglik Menpe teoremasining mohiyatini ifodalaydi. Endi F sirt x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v) ko'rinishdagi parametrik tenglamalar bilan berilganda 1-va2-kvadratik Formalarning koeffsientlari uchun ifodalar topamiz. F sirtning parametrik tenglamalari x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v) ko'rinishda berilgan bo'lsin. yuqoridagi belgilashlar asosida 1-kvadratik formani koeffsientlari uchun ushbu (6) tengliklarni topamiz. Ikkinchi kvadratik formaning koeffsientlari esa L=ruun=ruu== Xuddi shuningdek, M=, N=. Agar F sirt z=f(u,v) ko'rinishdagi tenglama bilan berilgan bo'lsa, u yuqorida ko'rib o'tganimizdek x=u, y=v, z=f(u,v) parametrik tenglamalarga teng kuchlidir. Shuning uchun 1-va2-kvadratik formalarning koeffsientlari quyidagicha bo'ladi: E=1+zx2, F=zxzy, G=1+zy2 L=, M=, N=. Asosiy adabiyotlar: 1. Aleksandrov A.D., Netsvetaev N.Yu. Geometriya. M.,Nauka,1990. 2. Narmanov A.Ya. differensial geometriya. T. Universitet, 2003 3. Pogorelov A.V. differensialnaya geometriya. M.,1974. 4. Narmanov A.Ya. va boshqalar. Umumiy topologiyadan mashq va masalalar to'plami. T.Universitet, 1996. 5. Sbornik zadach po differensialnoy geometrii. Pod red. Fedenko A.S. M., 1979. 6.Bakelman I.Ya., Verner A.L., Kantor B.Ye. Vvedenie v differensialnuyu geometriyu v tselom. M., Nauka, 1973. 7. Sobirov M.A., Yusupov A.Ye. ...