Topologik ko'pxilliklar. Chegarali ko'pxilliklar

Topologik ko'pxilliklar. Chegarali ko'philliklar Reja: n - o'lchovli kartalar. Topologik ko'pxillik ta'rifi. Topologik ko'pxillikka misollar. Chegarali ko'pxilliklar. Turli o'lchovli ko'pxilliklar. Agar Ап affin fазода R=0,e1,e2,,en реперни kiritsak, u xolda xar bir хАп nuqta Rn sonli fazoning iborat bo'lgan n tenglama tartiblangan х1, х2, , хп koordinatalarga ega bo'ladi. Demak, Ап affin fazoda R reperning berilishi f:AnRn akslantirishni aniqlaydi. Bu akslantirish esa gomeomorfizmdan iborat. Shunday qilib, Ап affin koordinat sistemaning berilishini, bu fazoni Rn sonli fazoga o'tkazuvchi gomeomorfizm deb qarash mumkin. Aytaylik (Х,) ajraluvchan topologik fazo bo'lsin. Ta'rif. n - o'lchovli koordinat sistema yoki n - o'lchovli karta deb, X to'plamning qandaydir U ochiq tenglama ostisiga aytiladi. Bunda U ochiq to'plam ostisiga o'kazuvchi gomeomorfizmga aytiladi. Bunda U ochiq to'plam ostisini n - o'lchovli kartaning koordinat atrofi deyiladi. Ta'rif. n - o'lchovli topologik ko'pxillik deb, sanoqli bazaga ega bo'lgan bog'liq ajraluvchan n o'lchovli kartali koordinat atrofli Х=qoplamasi mavjud bo'lgan topologik fazoga aytiladi. Bu yerda U - n - o'lchovli kartaning koordinat atrofidan iborat. n- o'lchovli topologik ko'pxillikni yoki qisqacha ko'pxillikni Хп орqали белгилаймиз. Ko'pxillikka misollar keltiraylik. 1) Rn sonli fazo bog'liq, ajraluvchan sanoqli bazaga ega. n- o'lchovli karta sifatida Rn fazoning ayniy almashtirishini olamiz. Demak, Rn - topologik ko'pxillikdan iborat. 2) Е3 fazoda r radiusli s sferani olamiz. 0 koordinat boshini s sferaning markazi ga joylashtiramiz. Bu kartaning koordinat atrofi sferani to'la qoplaydi. Sfera Е3 Fazoda ikki o'lchovli ko'pxillikdan iborat. Topologiyada o'lchovli chegarali ko'pxilliklar xam o'rganiladi. Ta'rif. n - o'lchovli chegarali ko'pxillik deb, sanoqli bazaga egi bo'lgan xar bir nuqtasining Rn yoki +Rn fazoga gomeomorf atrofi mavjud bo'lgan bog'liq ajraluvchan (Х,) topologik fazoga aytiladi. Ta'rif. Х ko'pxillikning chegarasi deb, atrofi +Rn fazoga gomeomorf bo'lgan lekin Rn ga gomeomorf bo'lmagan хХ nuqtalar to'plamiga aytiladi. Misollar. 1) R sonlar to'g'ri chizig'ining [a,b] kesmasi bir o'lchovli chegarali ko'pxillikdan iborat; 2) Yevklid tekisligidagi yopiq V(a,r) doira ikki o'lchovli chegarali ko'pxillikdan iborat bo'lib, uning chegarasi s(a,r) aylanadan iborat. Shuni eslatib o'tamizki, xar qanday chegarali ko'pxillik kompakt bo'lavermaydi. Masalan, affin fazodagi yarim tekislik kompakt emas. Endi ko'pxillikning o'lchoviga to'xtalib o'tamiz. Shunday savolga javob beramiz: n - o'lchovli ko'pxillik bir vaqtning o'zida m - o'lchovli ko'pxillik (mn) bo'lishi mumkinmi? Bu savolga yo'q deb javob beramiz. Shuning uchun ko'pxillikning o'lchovi uning topologik invariantidan iborat bo'ladi. Bu fikrning isboti uchun shu narsani etiborga olish kerakki, aks xolda biz ko'pxillikning biror nuqtasida xam Rm fazodagi ochiq to'plamga xam, Rn fazodagi ochiq to'plamga gomeomorf bo'lgan atrofini topgan bo'lar edik. Lekin bu narsa quyidagi ...