Topologik va metrik fazolar va ularning xossalari

Topologik va metrik fazolar va ularning xossalari Reja: Topologik fazo tushunchasi. Topologik fazo xossalari. Metrik fazo ta'rifi. Misollar. Metrik fazo xossalari. Aytaylik Х ixtiyoriy to'plam bo'lsin. Ta'rif. Х to'plamning to'plam ostilar to'plamida quyidagi uchta shart bajarilsa, yani 1) ga tegishli ixtiyoriy to'plamlar oilasining yig'indisi yana shu to'plamga tegishli bo'lsa; 2) to'plamga tegishli ixtiyoriy ikkita to'plamning kesishmasi yana to'plamga tegishli bo'lsa; 3) to'plam va X to'plamning o'zi xam to'plamga tegishli bo'lsa, u xolda X to'plamda topologik struktura yoki topologiya aniqlangan deyiladi. Ta'rif. X to'plamda topologik struktura aniqlangan bo'lsa, u xolda (Х, ) topologik fazo deyiladi. Х to'plamning elementlari nuqtalardan to'plamning elementlari ochiq to'plamlardan iborat. 1)-3) shartlar topologik strukturaning aksiomalari deyiladi. Bu aksiomalar ochiq to'plamlarning quyidagi xossalarini aniqlaydi. 1) istalgan sondagi ochik to'plamlarning birlashmasi yana ochiq to'plamdir; 2) istalgan ikkita ochiq to'plamning kesishmasi yana ochiq to'plamdir; 3) butun fazo va bo'sh to'plam ochiq to'plamdir. Topologik fazoga misollar keltiramiz 1) Agar to'plam Х to'plamning barcha to'plam ostilarining to'plami bilan ustma-ust tushsa (Х,) topologik fazoni diskret topologik fazo deyiladi. 2) Agar to'plam faqat ikkita Х va to'plamdan iborat bo'lsa, (Х,) topologik fazoni antidiskret yoki trivial topologiyali fazo deyiladi; 3) Aytaylik Х to'plam [0, ) nurdan iborat bo'lsin. va , Х va (a,+) (a0) ko'rinishdagi barsa nurlardan iborat bo'lsin. U xolda bu to'plamda 1)-3) aksiomalar bajariladi va (Х,) topologik fazoni strelka deb yuritiladi. Ochiq to'plamlarning to'ldiruvchisi maxsus nomga ega bo'lib, uni yopiq to'plam deb yuritiladi, yani agar FХ to'plamning to'ldiruvchisi ХF ochiq bo'lsa, F to'plamni yopiq to'plam deyiladi. Masalan, diskret fazoda barcha to'plamlar yopiq to'plamlardan iboratdir. Antidiskret fazoda esa fakat ikkita yopiq to'plam bor, yani va Х. Endi topologik struktura aksiomalaridan kelib chiqadigan yopiq to'plamlarning xossalarini sanab o'tamiz. 1. Yopiq to'plamlarning istalgan sonlagi kesishmasi yana yopiq to'plamdir. 2. Istalgan ikkita yopiq to'plamlarning birlashmasi yana yopiq to'plamdir. 3. to'plam butun fazo yopiq to'plamdir. Bu xossalarning isboti topologik struktura aksiomalaridan osongina kelib chiqadi. Metrik fazo. Faraz qilaylik Е - bo'sh bo'lmagan to'plam, R+ - nomanfiy xaqiqiy sonlar to'plamidan iborat bo'lsin. Ta'rif. Е to'plamda aniqlangan metrika deb, quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi, yani 1) (х,у)=0 х=у; 2) (х,у)=(у,х), х,у Е dan olingan; 3) (x,y)+(y,z) (x,z). : ExE R+ akslantirishga aytiladi. Ta'rif. Metrik fazo deb E to'plam va unda aniqlangan akslantirishdan tashkil topgan to'plamga aytiladi va (Е,) ko'rinishda belgilanadi. Е to'plamning elementlari nuqtalardan (х,у) nomanfiy son esa Х va У nuqtalar orasidagi masofa deyiladi. 1)-3) shartlar metrik fazoning aksiomalari deb yuritiladi. Metrik fazoga misollar sifatida to'g'ri chiziq, tekislik va uch o'lchovli ...