Topologiya predmeti. Tarixiy ma'lumotlar

Topologiya predmeti. Tarixiy ma'lumotlar Reja: Topologiya fanining predmeti. Chiziq va ta'rifiga turli yondashuvlar. Tarixiy ma'lumotlar. Topologik akslantirishlar. Differentsial geometriyaning asosiy oboektlari chiziq bilan sirt ekanini ta'kidlab o'tdik va chiziq bilan sirtni tenglamalashda odatdagi analitik geometriya muloxazalaridan foydalandik. Chiziq tekislikda F(x,y)=0 yoki x=(t), y=(t) (1) Tenglamalar bilan fazoda x=x(t), y=y(t), z=z(t) (2) tenglamalar bilan sirt esa bitta tenglama F(x,y,z)=0 bilan yoki uchta tenglama x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v) (3) bilan aniqlangan geoemetrik obraz sifatida ta'riflanishini bilamiz. Tegishli funktsiyalari uzluksiz va yetarli tartibda differentsiallanuvchi faraz qilib, ular bilan bemalol ish ko'rdik. Biroq funktsiyalarga nisbatan qo'yilgan bu talablar sekin-asta vujudga kelgan. Aniqlik uchun chiziq olib, XIX asrning ikkinchi yarmida Jordan tomonidan berilgan ta'rifni qaraylik. Chiziq deb koordinatalari ushbu x=(t), y=(t), 0 t 1 (4) uzluksiz funktsiyalar bilan ifodalanuvchi tekislik nuqtalarining to'plamiga aytiladi. Juda xam umumiy bo'lgan bu ta'rifga javob beruvchi chiziqlar xili cheksiz ko'p bo'lib, ular orasida egri chiziq xaqidagi tasavvurimizga zid geometrik obrazlar xam bor. Masalan, chiziq o'z-o'zini cheksiz marta kesishi mumkin. Italiyalik matematik Peano 1890 yilda ushbu faktni isbotladi: 0t1 kesmada shunday uzluksiz (t), (t) funktsiyalar tanlash mumkinki, koordinatalari x=(t), y=(t) tenglamalarni qanoatlantiruvchi nuqtalar (yani kvadrat ichidagi, tomonlaridagi nuqtalar) kvadratni to'la to'kis to'ldiradi, boshqacha aytganda shu kvadratda xar qanday М(х,у) nuqtani olsak xam t ning shunday kiymati topiladiki, (0t1), bu qiymatlarda x=(t), y=(t) tenglamalar kanoatlanadi - chiziq kvadratning xamma nuqtalaridan o'tadi. Geometriya tili bilan aytganda Peano chizig'i kvadrat ichiga to'g'ri chiziqning 0,1 kesmani bo'laklarga bo'lib, ko'rsatdik va bu kesmaning obrazi bo'lgan Peano chizig'ining bir qismini ko'rsatdik. Matematikada to'plam deganda qandaydir elementlarning majmuasini tushunamiz. To'plam tushunchasi asosiy xisoblanib, unga ta'rif berilmaydi. Misollar keltiraylik: To'g'ri chiziqdagi nuqtalar to'plami; Biror idishdagi molekulalar to'plami; Kutubxonadagi kitoblar to'plami va boshqalar Fazoda nuqtaviy M to'plam berilgan bo'lsin deylik. Bu to'plamning xar bir x nuqtaga fazoning qandaydir u nuqtasi mos keltirilgan bo'lsa, biz M to'plam fazoga akslangan deb ataymiz va bunday akslatishni f xarfi bilan belgilaymiz va mana bunday yozamiz (f(M)). Fazoning f(x) nuqtasi х nuqtaning obrazi deyiladi. М to'plamdagi barcha nuqtalar obrazlaridan tuzilgan to'plam shu to'plamning obrazi deyiladi, uni f(M) shaklida ishoralaymiz. O'zaro bir qiymatli moslik. Agar M to'plamga qarashli turli nuqtalarning obrazlari xam turli bo'lsa, to'plamning bunday f akslanishi o'zaro bir qiymatli deyiladi, yani turli х1, х2 nuqtalarning obrazlari xam turli. f(х1) element f(х2) dan Farq qiladi. Bu taqdirda obrazlar to'plami f(M) ga qarashli xar bir nuqtaga x nuqtani mos keltiruvchi f1 akslanish xaqida gapirish mumkin. Bu akslanish f ga nisbatan teskari akslanish deyiladi. Uzluksiz moslik. М to'plamning ...