Uzluksiz akslantirish va gomeomorfizm

Uzluksiz akslantirish va gomeomorfizm Reja: Uzluksiz akslantirishlar. Uzluksiz akslantirishlarning xossalari Gomeomorfizm Ekvivalentlik munosabati Aytaylik (Х,) va (X',') ikkita topologik fazolar berilgan bo'lsin. Ta'rif. Agar X' to'plamdagi f(x) nuqtaning ixtiyoriy U' atrofi uchun, Х to'plamdagi х nuqtaning shunday U atrofi mavjud bo'lsaki, u uchun f(U)U' shart bajarilsa f:XX' akslantirishni хХ nuqtada uzluksiz deyiladi. Agar f akslantirishni X to'plamning xar bir nuqtasida uzluksiz bo'lsa, uni X to'plamda uzluksiz akslantirish deyiladi. F(U)U' ifodadan Uf1(U') kelib chiqadi. Bu yerda f1(U')-f akslantirishdagi U' to'plamning proobrazidan iborat. U to'plam х nuqtaning atrofi iborat bo'lgani uchun f1(U') to'plam x nuqtaning atrofidan iborat bo'ladi. Shuning uchun yuqoridagi uzluksizlik ta'rifini boshqacha xam berish mumkin. Ta'rif. Agar X' to'plamdagi f(x) nuqtaning xar qanday atrofini nuqtaning xar qanday atrofining f-1(U') proobrazi X to'plamdagi x nuqtaning atrofidan iborat bo'lsa, f akslantirishni хХ nuqtaда uzluksiz deyiladi. 1. Xar qanday topologik fazoni o'ziga akslantirish uzluksizdir, yani dx:XX, xx. 2. Doimiy akslantirish xar doim uzluksizdir. 3. Diskret fazoni xar qanday topologik fazoni akslantirish uzluksizdir. 4. Xar qanday topologik fazoni antidiskret fazoga akslantirish uzluksizdir. Teorema. Agar f:XY akslantirishda ixtiyoriy yopiq to'plamning proobrazi yana yopiq to'plam bo'lsa, f akslantirishni xamma joyda uzluksiz deyiladi. ISBOT. Aytaylik f uzluksiz bo'lsin. f1(A) to'plamni yopik to'plam ekanini isbotlash uchun Xf1(A) to'ldiruvchi to'plamni ochiq ekanini ko'rsatish kerak. Xaqiqatan xam, bu to'plam А to'plam to'ldiruvchisining proobrazi bilan ustma-ust tushadi, yani Xf1(A)= f1(YA) f1(YA) to'plam esa f uzluksiz akslantirishdagi YA ochiq to'plamning proobrazi sifatida ochiqdir. Nixoyat uzluksiz akslantirishlarning eng sodda lekin muhim xossasini keltiramiz: Hossa. Uzluksiz akslantirishlarning kompozitsiyasi yana uzluksiz akslantirishdir. Ta'rif. Agar f:XX' akslantirish quyidagi shartni qanoatlantirsa, yani 1) f - biektsiya; 2) f va f-1 akslantirishlar uzluksiz bo'lsa, f akslantirishni gomeomorfizm deyiladi. Agar f:XX' akslantirish gomeomorfizmdan iborat bo'lsa, X va X' to'plamlarni gomeomorf tenglamalar deyiladi. Gomeomorfizm ta'rifidan ko'rinadiki, munosabati quyidagi shartlarni qanoatlantiradi: 1) Х Х 2) Х X' дан X' X 3) X X', X' X дан X X Shunday qilib, munosabat barcha topologik fazolarning Х to'plamida ekvivalentlik munosabatidan iborat ekan. Xfaktor to'plamning xar bir elementi topologik tip deb ataladi. xar bir topologik tip bir-biriga o'zaro gomeomorf bo'lgan topologik fazolardan tashkil topadi. Gomeomorfizmga nisbatan invariant bo'lgan barcha xossalar fazoning topologik xossalari deyiladi. Gomeomorfizmga misollar keltiramiz. 1) Diskret fazoni diskret fazoga biektiv akslantirish gomeomorfizmdan iborat. 2) Antidiskret fazoga biektiv akslantirish xam gomeomorfizmdar iboratdir. Gomeomorfizmning bir necha sodda muhim xossalarini ko'rib o'tamiz. 1) Xar qanday topologik fazoni o'ziga ayniy akslantirish gomeomorfizmdan iborat. 2) Gomeomorfizmga teskari akslantirish xam gomeomorfizmdan iboratdir. 3) Ikkita gomeomorfizmni kompozitsiyasi yana ...