Yevklid geometriyasi aksiomalarining o'zaro erkinligi. Uzluksizlik va parallellik aksiomalarining erkinligi

Yevklid geometriyasi aksiomalarining o'zaro erkinligi. Uzluksizlik va parallellik aksiomalarining erkinligi Bu paragrafda aksiomalarning erkinligi masalasini o'rganamiz. Barcha aksiomalarning erkinligini tekshirib chiqish qiyin. Shuning uchun uzluksizlik va parallellik aksiomalarining erkinligini tekshirish bilan chegaralanamiz. ta'rif. Biror T aksiomalar sistemasining a aksiomasi T ga tegishli boshqa aksiomalardan kelib chiqmasa, a aksioma erkin deyiladi. T nazariyaning aksiomasining erkinligini isbotlash uchun nazariyaning aksiomasiz talqinini kiritamiz. Agar talqinda aksioma o'rinli bo'lmasa, aksioma erkin bo'ladi, aks holda aksioma boshqa aksiomalar yordamida kelib chiqqan bo'lib qoladi. 1-teorema. Uzluksizlik aksiomasi erkin. Teoremaning isboti to'liq bo'lmagan Yevklid aksiomalari sistemasiga misol keltirish imkonini beradi. Yani Yevklid aksiomalari sistemasi uzluksizlik aksiomasisiz to'liq emas. Bu aksiomalar sistemasini ularga zid kelmaydigan va ulardan kelib chiqmaydigan uzluksizlik aksiomasi bilan to'ldirish mumkin. 2-teorema. Yevklid geometriyasining parallellik aksiomasi erkin. Bu teoremani isbotlash uchun biz parallellik aksiomasidan boshqa barcha aksiomalar o'rinli bo'lgan geometriyaning talqinini qurishimiz kerak. Lobachevskiy geometriyasining Puankare talqini ko'rib chiqaylik. Tekislikdagi P=(x,y)R2 | x0 to'plamni Lobachevskiy tekisligi deb, bu to'plamning l= (x,y)R2 | (x-x0)2+y2=r2 yoki l= (x,y)R2 | x=const qism to'plamlarini to'g'ri chiziq deb ataymiz. Agar to'g'ri chiziq tenglama bilan berilgan bo'lsa, unda yotuvchi nuqtalar uchun «orasida» tushunchasi quyidagicha aniqlaymiz: va ayirmalar bir xil ishorali bo'lsa, nuqta va nuqtalar orasida yotadi deymiz. Agar to'g'ri chiziq tenglama bilan berilgan bo'lsa, unda yotuvchi nuqtalar uchun «orasida» tushunchasini quyidagicha aniqlaymiz: va ayirmalar bir xil ishorali bo'lsa, nuqta va nuqtalar orasida yotadi deymiz. Bu ikkala ta'rifning ekvivalentligini isbotlash kerak emas. Chunki uchta nuqta yotuvchi to'g'ri chiziq yoki tenglamalardan biri bilan aniqlanadi. Agar nuqtalarning abtsissalari bir xil bo'lsa, to'g'ri chiziqda yotadi, aks holda tenglama bilan aniqlanadigan to'g'ri chiziqda yotadi. Ikkitasining abtsissasi bir xil bo'lib, uchinchisining abtsissasi unga teng bo'lmagan, yani (bunda ) ko'rinishidagi nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq mavjud emas. II guruh aksiomalarini tekshirishdan avval bazi bir ma'lumotlar keltiramiz. Bizga markazi nuqtada, radiusi ga teng bo'lgan aylana berilgan bo'lsin. nuqta bilan ustma- ust tushmaydigan tekislikning ixtiyoriy nuqtasi uchun, shartni qanoatlantiruvchi va nurda yotuvchi nuqtani har doim aniqlash mumkin. U holda, nuqta nuqtaning aylanaga nisbatan inversiyadagi aksi deyiladi. Bundan tashqari, nuqta nuqtaning to'g'ri chiziqqa nisbatan simmetrik nuqtasi bo'lsa, nuqta nuqtaning to'g'ri chiziqqa nisbatan inversiyadagi aksi deb olamiz. Keyinchalik to'g'ri chiziqqa nisbatan inversiyani ham, aylanaga nisbatan inversiya deb qaraymiz, chunki to'g'ri chiziqni cheksiz radiusli aylana deyish mumkin. Inversiyaning quyidagi sodda xossalarini keltiramiz: 1) agar nuqta M nuqtaning aylanaga nisbatan inversiyadagi aksi bo'lsa, M nuqta nuqtaning aylanadagi aksi bo'ladi, yani inversiya o'zi o'ziga teskari bo'lgan akslantirishdir; 2) aylanaga nisbatan inversiyada aylananing ichkarisidagi nuqtalar tashqarisidagi nuqtalarga, ...