Yevklid geometriyasining aksiomalari sistemasining zidsizligi va to'liqligi

Yevklid geometriyasining aksiomalari sistemasining zidsizligi va to'liqligi ta'rif. Ixtiyoriy nazariyaning (xususan, Yevklid geometriyasining) da birorta talqini mavjud bo'lsa, bu nazariya zidsiz deyiladi (buYerda barcha haqiqiy sonlar to'plami). Haqiqatdan ham, agar nazariyada bir-birini inkor qiluvchi natijalar kelib chiqsa, u holda da ham bir-birini inkor qiluvchi natijalar bo'lishi kerak edi. da dagi aksiomaga mos keluvchi har bir tasdiqni o'rinliligiga dagi elementlar va ular orasidagi munosabatlardan foydalanib ishonch hosil qilish mumkin. Yani, da bir-biriga zid keluvchi tasdiqlar yo'qligidan, nazariyada ham bir-biriga zid keladigan aksiomalar yo'qligi kelib chiqadi. Yuqorida Yevklid geometriyasining Dekart talqinini qurdik. Bunda shartli ravishda, nuqta, to'g'ri chiziq, tekislik tushunchalariga mos keluvchi obyektlar ko'rsatdik va bu obyektlar uchunYevklid geometriyasi aksiomalarining bajarilishini tekshirdik. Haqiqiy sonlar nazariyasidan foydalanib, barcha tasdiqlar o'rinli ekaniga ishonch hosil qildik. Bu teoremalar arifmetika aksiomalaridan foydalanib isbot qilingani uchun, arifmetika aksiomalarining zidsizligidan dekart talqinning o'rinliligi kelib chiqadi. Shunday qilib, Yevklid gemetriyasi aksiomalari sistemasi uchun zidsizlik masalasining quyidagicha yechimini hosil qildik. 1-teorema. Arifmetika aksiomalari zidsiz bo'lsa, Yevklid geometriyasi aksiomalari ham zidsiz. Endi aksiomalar sistemasining to'liqligi masalasining qaraylik. Bizga biror nazariyasining ikkita va talqinlari berilgan bo'lsin. ta'rif. Berilgan va talqinlarining elementlari orasida aksiomalar yordamida aniqlangan munosabatlarini saqlovchi o'zaro bir qiymatli moslik o'rnatish mumkin bo'lsa, bu talqinlar izomorf deyiladi. ta'rif. T nazariyaning aksiomalar sistemasi yordamida kelib chiqmaydigan va aksiomalar sistemasiga zid kelmaydigan aksioma bilan to'ldirish mumkin bo'lmasa, aksiomalar sistemasi to'liq deyiladi. Tasdiq. Aksiomalar sistemasining barcha talqinlari izomorf bo'lsa, bu aksiomalar sistemasi to'liq bo'ladi. 2-teorema. Yevklid geometriyasi aksiomalari sistemasi to'liq. Asosiy adabiyotlar A.Ya.Narmanov, A.S.Sharipov Geometriya asoslari. T.Universitet, 2004 y. N.V.Yefimov. Visshaya geometriya. M., 1978. A.V.Pogorelov. Osnovaniya geometrii. M., Nauka, 1968. A.V.Pogorelov. Geometriya O'rta maktablarning 7-11 sinflari uchun darslik T. O'qituvchi, 2002. A.Ya.Narmanov, A.S.Sharipov Geometriya asoslari. Elektron qo'llanma. Kafedrada mavjud. Qo'shimcha adabiyotlar L.S.Atanasyan. Geometriya asoslari. T., 1962. ...