Yopishma tekislik, bosh normal va binormal tenglamalari

Yopishma tekislik, bosh normal va binormal tenglamalari Egri chiziq uchun yopishma tekislik tushunchasini kiritib, uning tenglamasini keltirib chiqaramiz. Egri chiziq ning nuqtasidan o'tuvchi birorta tekislik va chiziqdagi ga yaqin nuqta uchun bilan nuqtalar orasidagi masofani, bilan esa nuqtadan tekislikkacha bo'lgan masofani belgilaylik. Chizma-7 ta'rif. Chiziqdagi nuqta nuqtaga yaqinlashganda nolga intilsa, tekislik ning nuqtasidagi yopishma tekisligi deb ataladi. Teorema-10: Ikki marta differensiallanuvchi regulyar egri chiziqning har bir nuqtasidan o'tuvchi yopishma tekislik mavjud bo'lib, urinma yopishma tekislikda yotadi. Agar egri chiziq tenglama yordamida aniqlangan bo'lsa, nuqtadan o'tuvchi yopishma tekislik vektorlarga parallel bo'ladi. Isbot: Regulyar egri chiziqning nuqtasidan o'tuvchi yopishma tekislik mavjud bo'lsa, uning vektorlarga parallel ekanligini ko'rsataylik. Yopishma tekislikni bilan, uning birlik normal vektorini bilan belgilaylik. Egri chiziq nuqta atrofida tenglama bilan aniqlangan bo'lsa, nuqtaga mos keluvchi parametrning qiymati bo'ladi ( nuqta nuqtaga yaqin bo'lganligi uchun). Shuning uchun va nuqtalar orasidagi masofa va nuqtadan tekislikkacha bo'lgan masofa uchun quyidagi tengliklar o'rinli bo'ladi; Demak, Bu yerda, vektorlar da nol vektorga intiladilar. Shuning uchun, yuqoridagi tenglikda da limitga o'tsak, va yopishma tekislik bo'lganligi uchun ning limiti nolga teng ekanligini hisobga olsak tengliklarni hosil qilamiz. Demak, tekislik vektorlarga paralleldir. Endi yopishma tekislikning mavjud ekanligini ko'rsataylik. Buning uchun esa bilan nuqtadan o'tuvchi va vektorlarga parallel tekislikni belgilaymiz. Shunda vektor tekislikning birlik normal vektori ekanligini hisobga olib, yuqoridagi hisob kitoblarni takrorlasak, ni hosil qilamiz. vektorlarning uzunligi da mos ravishda va larga nisbatan tezroq nolga intilishini hisobga olsak, ni hosil qilamiz. Demak, yopishma tekislikdir. Izoh: Yopishma tekislik va vektorlarga parallel bo'lganligi uchun, agar bu vektorlar o'zaro parallel bo'lsa, nuqtadan o'tuvchi yopishma tekisliklar cheksiz ko'p. Lekin , vektorlar parallel bo'lmasa, nuqtadan o'tuvchi yopishma tekislik yagonadir. Endi yopishma tekislik tenglamasini yozaylik. Buning uchun va vektorlarning boshlarini nuqtaga joylashtirib, bilan yopishma tekislik nuqtasini belgilasak, , , vektorlar komplanar vektorlar oilasini tashkil qiladi. Shuning uchun ularning aralash ko'paytmasi nolga teng bo'ladi. Ikkinchi tomondan, ularning aralash ko'paytmasi nolga teng bo'lgandagina nuqta yopishma tekislikka tegishli bo'ladi. Demak, bilan R nuqtaning radius vektorini belgilasak, yopishma tekislik tenglamasini ko'rinishda yoza olamiz. Agar egri chiziq parametrik tenglamalar yordamida berilsa, yopishma tekislik tenglamasi ko'rinishda bo'ladi. Agar egri chiziq tenglamalar yordamida berilsa, uning nuqtadan o'tuvchi yopishma tekislik tenglamasini keltirib chiqaraylik. Buning uchun esa egri chiziqni nuqta atrofida tenglama yordamida yozish mumkinligidan foydalanamiz. Buning uchun esa nuqtada bo'lsin deb faraz qilamiz. Endi esa parametrik tenglamalarni yozib, yuqoridagi ko'rinishdagi yopishma tekislik tenglamasini olamiz. Bu yerdagi hosilalar va funksiyalar hosilalari orqali topiladi. Egri chiziqning nuqtasidan urinma to'g'ri chiziqqa perpendikulyar holda o'tuvchi to'g'ri ...