Aniq integralning geometrik tatbiqlari

Aniq integralning geometrik tatbiqlari Yuqoridan funksiyaning grafigi bilan, yon tomonlardan va vertikal to'g'ri chiziqlar bilan hamda quyidan ya'ni o'qi bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzasi aniq integral bilan hisoblanishi bizga ma'lum(1-chizma). Agar kesmada bo'lsa, u holda egri chiziqli trapetsiya o'qidan pastda joylashgan bo'lib, uning qiymati manfiy son bo'ladi. Shu sababli, bu holda, egri chiziqli trapetsiya'ning yuzasi formula bilan topiladi(2-chizma) va egri chiziqlar hamda va to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan geometrik shaklning yuzasi formula bilan hisoblanadi(3-chizma). 3-chizma Agar egri chiziq parametrik tenglama bilan berilgan bo'lsa, u holda egri chiziqli trapetsiya'ning yuzasi formuladan topiladi. Tekislikdagi funksiya bilan berilgan egri chiziqning yoyi uzunligi formula bo'yicha hisoblanadi. Agar egri chiziq parametrik tenglama bilan berilgan bo'lsa, u holda, yoy uzunligi formula bilan hisoblanadi. Aytaylik biror jismning o'qiga perpendikulyar bo'lgan tekislik bilan kesimi yuzi bo'lsin. Bu kesim ko'ndalang kesim deb ataladi va u kesmada uzluksizdir. Bu holda, berilgan jismning hajmi formula bilan aniqlanadi. egri chiziq to'g'ri chiziqlar va o'qi bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiya'ning o'qi atrofida aylanishidan hosil bo'lgan jismning hajmi formuladan, sirti esa formuladan topiladi. egri chiziq, to'g'ri chiziqlar va o'qi bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiya'ning o'qi atrofida aylanishidan hosil bo'lgan jismning hajmi formuldan topiladi. Mavzuga doir yechimlari bilan berilgan topshiriqlardan namunalar 1. bo'lganda, sinusoida va o'qi bilan chegaralangan yuza topilsin. yechish: da va da bo'lgani uchun (4-chizma). 4-chizma 2. va egri chiziqlar bilan chegaralangan yuza topilsin. yechish: Dastlab va egri chiziqlarni kesishish nuqtalarini topamiz (5-chizma). va dan kelib chiqadi. Undan esa larni topamiz. Demak, 3. ellips bilan chegaralangan sohaning yuzi topilsin. yechish: Ellipsning yuqori yarim qismini yuzini topamiz va uni ikkiga ko'paytiramiz. Bu yerda o'zgaruvchi dan gacha o'zgarganda o'zgaruvchi dan gacha o'zgaradi. Demak, 4. aylana uzunligi topilsin. yechish: Dastlab aylananing birinchi chorakda yotgan bo'lagining uzunligini topamiz. U holda yoy uzunligi bo'ladi va undan esa ni aniqlaymiz. Shunday qilib, Butun aylananing uzunligi esa ga teng bo'ladi. 5. co, astroidaning uzunligi topilsin. yechish: Egri chiziq har ikkala koordinata o'qlariga nisbatan simmetrik bo'lgani uchun dastlab uning to'rtdan bir qismining uzunligini topamiz. Buning uchun va larni topamiz. bo'lib, parametr dan gacha o'zgaradi. Demak, Demak, 6. Asos yuzasi ga teng ko'pburchak va balandligi bo'lgan piramidaning hajmini toping. yechish: Geometriya kursidan ma'lumki, piramida asosiga parallel bo'lgan tekislik bilan kesilsa, kesimda asosiga o'xshash ko'pburchak hosil bo'ladi hamda kesim va asos yuzalarining nisbati ulardan piramida uchigacha bo'lgan masofalar kvadratlarinig nisbati kabi bo'ladi. Agar piramida asosidan ga teng masofada asosiga parallel tekislik o'tkazilganda hosil bo'lgan kesimning yuzasini deb olamiz. U holda piramida uchidan kesimgacha ...