Aniq integralning geometriyaga tadbiqi

Aniq integralning geometriyaga tadbiqi 1. Figuralar yuzalarini Dekart koordinatalar sistemasida hisoblash. a) Avvalgi o'tilgan mavzulardan ma'lumki, agar [a,b] kesmada funksiya bo'lsa u holda egri chiziq, OX o'qi va x=a hamda x=b to'gri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzi (4) ga teng bo'ladi. Agar [a,b] kesmada bo'lsa, u holda aniq integral bo'ladi. Absolyut qiymatiga ko'ra bu integralning qiymati ham tegishli egri chiziqli trapetsiyaning yuziga teng: (4) y y=f(x) 0 a b x 1-rasm Agar funksiya [a,b] kesmada ishorasini chekli son marta o'zgartirsa, u holda integralni butun [a,b] kesmada qismiy kesmada qismiy kesmachalar bo'yicha integrallar yig'indisiga ajratamiz. bo'lgan kesmalarda integral musbat, bo'lgan kesmalarda integral manfiy bo'ladi. Butun kesma bo'yicha olingan integral OX o'qidan yuqorida va pastda yotuvchi yuzlarning tegishli algebraic yig'indisini beradi (1-rasm). Yuzlar yig'indisini odatdagi ma'noda hosil qilish uchun yuqorida ko'rsatilgan kesmalar bo'yicha olingan integrallar absolyut qiymatlari yig'indisini topish yoki (4) Integralni hisoblash kerak. b) Agar egri chiziqlar hamda x=a va x=b to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan figuraning yuzini hisoblash kerak bo'lsa, u holda shart bajarilgan figuraning yuzi qo'yidagiga teng: (5) 1-misol. Y=cosx, y=0 chiziqlar bilan chegaralangan figuraning yuzi hisoblansin, bunda (2-rasm) y S1 S3 0 S2 x -1 2-rasm yechish. da hamda da bo'lgani uchun Demak. S=4(kv.birlik) 2-misol. y=x2+1 va y=3-x chiziqlar bilan chegaralangan figuraning yuzini hisoblang. yechish. Figurani yasash uchun avval ishbu sistemani yechib, chiziqlarnin kesishish nuqtalarini topamiz. (3-rasm). y A B -2 0 1 2 x 3-rasm Bu chiziqlar A(-2; 5) va B(1; 2) nuqtalarda keshishadi. U holda g) Agar egri chiziqli trapetsiyaning yuzi tenglamalari parametric shaklda berilgan chiziq bilan chegaralangan bo'lsa, bunda bu tenglamalar [a, b] kesmadagi biror funksiyani aniqlaydi, bunda U holda egri chiziqli trapetsiyaning yuzi formula bo'yicha hisoblanishi mumkin bo'ladi. Bu integralda o'zgaruvchini almashtiramiz: Demak, (6) Bu formula chiziq parametric tenglamalar bilan berilganda egri chiziqli trapetsiyaning yuzini hisoblash formulasidir. 3-misol. x=accost, y=bsint ellips bilan chegaralangan sohaning yuzi hisoblansi. yechish. Ellipsning yuqori yarim yuzini hisoblab, uni 2 ga ko'paytiramiz. 2. Figuralar yuzlarini qutb koordinatalarida hisoblash. AB egri chiziq qutb koordinatalarida formula bilan berilgan va funksiya kesmada uzluksiz bo'lsin (4-rasm) B A 0 Ushbu egri chiziq va qutb o'qlari bilan va burchak hosil qiluvchi 2 ta nurlar bilan chegaralangan egri chiziqli sektorning yuzini aniqlaymiz. Buning uchun berilgan yuzani nurlar bilan n ta ixtiyoriy qismlarga bo'lamiz. O'tkazilgan nurlar orasidagi burchaklarni bilan belgilaymiz. bilan orasidagi biror burchakka mos nurning uzunligini orqali belgilaymiz. Radiusi va markaziy burchagi bo'lgan doiraviy sektorni qaraymiz. Uning yuzi gat eng bo'ladi. Ushbu yig'indi Zinapoyasimon sektorning ...