Darajali funksiyaning hosilasi

Darajali funksiyaning hosilasi Reja: Darajali funksiyaning hosilasi ta'rifi Darajali funksiya hosilasini topish formulalari Oldingi paragraflarda y = xn darajali funksiyaning hosilasini n = 1 va n = 2 bo'lganda (x)' = 1, (x2)' = 2x bo'lishini topdik. Ikkita funsiya ko'paytmasining hosilasi haqidagi teoremadan foydalanib, x ning istalgan natural darajalarining hosilasini topish mumkin: (x3)' = (x2x)'= (x2)'x + x2 (x)'= 2 xx + x2 = 3x2 (x4)' = (x3x)'= (x3)'x + x3 (x)'= 3 x2x + x3 = 4x3 (x5)' = (x4x)'= (x4)'x + x4 (x)'= 4 x3x + x4 = 5x4 ……. (xk)' = kxk-1 Endi (xk+1)' = (k +1) xk bo'lishini ko'rsatamiz. Induksiya prinsipiga ko'ra fikrimizning n = k + 1 hol uchun to'g'riligi n = k holdan kelib chiqishini isbotlaymiz. (xk+1)' = (xkx)'= (xk)' x+xk(x)' = kxk-1x+x+xk = kxk+xk=(k+1)xk Demak, fikrimiz n natural son uchun to'g'ri ekan. y = xn funksiyaning hosilasini topish uchun, n ko'rsatkichini koeffisent qilib, x ning darajasini bitta kamaytirish kerak, ya'ni y = (xn)' = nxn-1 (5) Darajali funksiyaning hosilasini topishning aniqlangan qoidasi natural sonlar uchungina emas, balki har qanday ko'rsatkichlar uchun ham, ya'ni har qanday haqiqiy αson uchun ham o'rinlidir y = (xα)' = αxα-1 (6) bu formulaning isbotiga keyinchalik to'xtaymiz. M i s o l l a r. Quyidagi funksiyalarning hosilalarini toping. a) y = x20 ; b) y = ; d) y = Y e c h i s h. a) y = (x20)'= 20x19 y = ()'= ; y = Ko'phadning hosilasi n-darajali ko'phadning ko'rinishi quyidagicha bo'lsin: Pn(x) = a0xn + a1xn-1+ a2xn-2 +….+an-1 x + an, Bunda an - ozod had, a0, a1,…, an-1 -mos ravishda xn, xn-1, …, x lar oldidagi koeffisentlar, shu bilan birga a0 ≠0. Buday ifodani (+1) ta a0xn, a1xn-2, …., an-1x, an funksiyalarning yig'indisi deb ham qarash mumkin. Shu sababli ko'phadning hosilasi bu funksiyalar hosilalarining yig'indisiga teng: P'n(x) = (a0xn) + (a1xn-1)+ (a2xn-2)+….+(an-1 x) +( an,)' an o'zgarmas son bo'lagni uchun uning hosilasi nolga teng. O'zgarmas ko'paytuvchini hosila belgisidan tashqariga chiqarish mumkinligidan va har qanday natural k uchun (xk)'= kxk-1 bo'lishidan foydalanib, qolgan hosilalarni osongina topish mumkin. Shunday qilib: (a0xn)'= a0 (xn)' = a0nxn-1 (a1xn-1)'= a1 (xn-1)' = a1(n-1) xn-2 …… …… (an-1x)'= an-1 (x)' = an-1 (an)'=0 Bundan: (a0 xn + a1 xn-1 + a2 xn-2 +….+ an-1x+an)' = a0 nxn-1 + a1 (n-1)xn-2+…+an-1 Masalan, (5 -6x + 17 x4)'= (5)' - (6x)' + (17x4)'= 68 x3 -6; ((x7+x)2)' = (x14 + 2x8 ...