Differensial hisob teoremalari. Teylor formulasi

Differensial hisobning asosiy teoremalari. Teylor formulasi Roll teoremasi. Agar funksiya: 1) kesmada uzluksiz; 2) shu kesmaning ichki nuqtalarida hosilaga ega; 3) bo'lsa, u holda bilan orasida shunday nuqta mavjud bo'ladiki, unda bo'ladi. Lagranj teoremasi. Agar funksiya: 1) kesmada uzluksiz; 2) shu kesmaning ichki nuqtalarida hosilaga ega bo'lsa, u holda va orasida shunday nuqta topiladiki, unda bo'ladi. Koshi teoremasi. Agar va funksiya: 1) kesmada uzluksiz; 2) shu kesmaning ichki nuqtalarida har ikkala funksiya ham hosilaga ega, shuning bilan birga, bo'lsa, u holda bilan orasida shunday nuqta mavjud bo'ladiki, unda bo'ladi. Bu teoremalarda bilan orasida qandaydir o'rta qiymat haqida so'z borganligi uchun, ular o'rta qiymat haqidagi teoremalar deb ataladi. Ferma teoremasi. funksiya oraliqda berilgan bo'lib, u shu oraliqning biror nuqtasida o'zining eng katta (kichik) qiymatiga erishsin. Agar funksiya nuqtada chekli hosilaga ega bo'lsa, u holda bu nuqtada bo'ladi. funksiya nuqtaning biror atrofi da aniqlangan bo'lib, bu atrofda hosilalarga ega va hosila nuqtada uzluksiz bo'lsa, u holda quyidagi formula o'rinli bo'ladi. Bunda Bu formula Teylor formulasi deyiladi. ni Lagranj ko'rinishidagi qoldiq had deyiladi. Teylor formulasida bo'lgan hol alohida ahamiyatga ega: Odatda, bu formula Makloren formulasi deyiladi. Bu formuladan funksiya limitini topishda, taqribiy hisoblash masalalarida foydalaniladi. Quyida ba'zi bir elementar funksiyalar uchun Makloren formulasini keltiramiz: bo'lsin. Bu funksiya uchun . U holda quyidagi formulani yozish mumkin: Agar da bo'lishini etiborga olsak, uchun taqribiy formulaga ega bo'lamiz. 2. bo'lsin. Bu funksiyaning n-tartibli hosilasi uchun formula orinli ekanini topish qiyin emas. ekanligi ravshan. ni aniqlaymiz: Demak funksiya uchun Makloren formulasi ko'rinishda bo'ladi. 3. bolsin. Funksiyaning tartibli hosilasi uchun formula o'rinlidir. bo'lishi ravshan. Demak, funksiya uchun Makloren formulasi ko'rinishda bo'ladi. Bu yerda qoldiq had. 4. bo'lsin. Bu funksiyaning tartibli hosilasini topamiz: . bulardan foydalanib, tartibli hosilani topish uchun quyidagi formulani hosil qilamiz: va ekanligini e'tiborga olsak, funksiya uchun Makloren formulasi: ko'rinishda bo'ladi. Mavzuga doir yechimlari bilan berilgan topshiriqlardan namunalar funksiya kesmada Ferma teoremasining shartlarini qanoatlantiradimi? yechish: Berilgan funksiya [1;2] kesmada monoton o'suvchi bo'lib, u o'zining eng katta yoki eng kichik qiymatiga kesmaning chetlarida, ya'ni nuqtada o'zining eng kichik qiymatiga va nuqtada o'zining eng katta qiymatiga erishadi. Bu esa berilgan funksiya kesmada Ferma teoremasining shartlarini qanoatlantirmasligini bildiradi. = funksiya kesmada Roll teoremasi shartlarini qanoatlantiradimi? yechish: Funksiya kesmada uzluksiz va . Demak, berilgan funksiya Roll teoremasining ikkita shartini qanoatlantiryapti. Funsiya'ning hosilasi bo'lib, u dan farqli nuqtalarda mavjud. Bu nuqta ichki nuqta bo'lib, u nuqtada Roll teoremasining uchinchi sharti bajarilmayapti. Bu esa berilgan funksiyaga Roll teoremasini qo'llab bo'lmasligini bildiradi. 3. ...