Differensial tenglamalarni qatorlar bilan yechish, Bessel tenglamasi

differensial tenglamalarni qatorlar yordamida yechish, besselp tenglamasi R Ye J A Golomorf funksiya. Darajali qator. Tenglamani qatorlar yordamida yechish usuli. Besselp tenglamasi. differensial tenglamalarni qatorlar yordamida yechish uchun baozi tushunchalarni kiritamiz. f(x) funksiya x0 nuqtada golomorf deyiladi, agar x0 nuqtani biror |x-x0| atrofida darajali qatorga yoyish mumkin bo'lsa. x0 nuqta oddiy nuqta deyiladi, agar tenglamani koeffitsiyentlari shu nuqtada golomorf bo'lsa, aks holda x0 nuqta maxsus nuqta deyiladi. Bizga (1) tenglama berilgan bo'lsin. Bunda p(x) va q(x) funksiyalar x=x0 nuqtada golomorf bo'lsin, yaoni yoki x0=0 bo'lsa, . (2) (2)ni (1)ga qo'yamiz. (3) (3)ning yechimini (4) ko'rinishda qidiramiz. (4)ni (3) ga qo'yamiz yoki yig'indini bir xil ko'rinishga keltirib, tenglikka ega bo'lamiz, bu yerda formuladan foydalanib, quyidagi tenglikni olamiz. ni oldidagi koeffitsiyentlarni nolga tenglab, formulani hosil qilamiz. k=0,1,2,… qiymatlari uchun Bu sistemadan ck koeffitsiyentlarni topamiz. Demak, 2-tartibli tenglamaning yechimini ixtiyoriy boshlang'ich shart va uning hosilasi yordamida ko'rish mumkin. Bu usulni nomaolum koeffitsiyentlar usuli deyiladi. Besselp tenglamasini o'zgarmas koeffitsiyentga keltiriladigan tenglamalar sinfida qaralgan edi, yaoni (5) yoki bo'lib x=0 nuqta maxsus nuqta bo'ladi. (5)ning yechimini (6) umumlashgan darajali qator ko'rinishida qidiramiz. (6)ni (5)ga qo'yamiz Bu ifodani ga qisqartiramiz va soddalashtiramiz xk ni mos tartibi oldidagi koeffitsiyentlarni nolga tenglaymiz (7) ildiz uchun, (7)dan yoki (8) Shunday qilib, c1=0 va barcha k lar uchun c2k+1=0 (8)dan k=1,2,… qiymatlar uchun c2,c4,c6,…,c2k koeffitsiyentlarni topamiz. Bu qiymatlari (6)ga qo'yib va =n deb, Besselp tenglamasining yechimini ifodalaymiz. Xuddi shunday = -n uchun ham yechimni ko'rish mumkin . Bunda c0 koeffitsiyentni ko'rinishda olib, gamma funksiya xossalaridan foydalanib Besselp tenglamasining xususiy yechimini topamiz. Xuddi shunday =-n uchun ikkinchi xususiy yechimni olib, Besselp tenglamasining umumiy yechimini ko'rinishda, 0 ...