Ehtimollarni qo'shish va ko'paytirish teoremalari

2-MAVZU. Ehtimollarni qo'shish va ko'paytirish teoremalari. Shartli ehtimollik. Hodisalarning bog'liqsizligi. To'la ehtimollik Bayes formulalari 1-teorema. Ikki birgalikda bo'lmagan A va V hodisalar yig'indisining ehtimolligi, bu hodisalar ehtimolliklari yig'indisiga teng: (A+V)=R(A)+R(V) Isboti. Ehtimolning klassik ta'rifidan foydalanamiz. n ta elementar hodisalar orasida A hodisaga tug'riduvchi hodisalar soni m V hodisa uchun esa m bo'lsin. U 1 2 holda m m R(A)  1; R(V)  2; n n A va V hodisalar birgalikda bo'lmaganligi uchun elementar hodisalardan hech biri bir vaqtda A hodisaga ham, V hodisaga ham qulaylik tug'dirmaydi. Shuning uchun A+V hodisaga m m ta hodisa qulaylik tug'diradi va 1 2 m m m m R(AV)  1 2  1  2  R(A)R(V). Teorema isbotlandi. n n n 1-Natija Qarama-qarshi A va V hodisalar ehtimoliklari yig'indisi birga teng: R(A)+R(A )=1 (2.1). 2-natija. A,AA elementar hodisalar ehtimollar yig'indisi 1 ga teng 1 2 n R(A)P(A )P(A ) 1 (2.2) 1 2 n 2-teorema. Ikkita birgalikdagi hodisadan xech bo'lmaganda birining ruy berish ehtimoli bu hodisalar ehtimolliklari yig'indisidan ularning birgalikda ruy berish ehtimolligini ayrilganiga teng: R(A+V)=R(A)+R(V)-R(AV) (2.3) 4-ta'rif. A hodisaning ehtimoli V hodisa ruy berish yoki bermasligiga bog'liq bulmasa, A hodisa V hodisaga bog'likmas deyiladi. 5-ta'rif. Bog'lik A va V hodisalarning A hodisa V hodisa ruy berdi degan shartdagi ehtimoli shartli ehtimol deyiladi va R (A) kabi belgilanadi. V 3-misol. Qutida 4 ta oq va 2 ta ko'ra shartlar bo'lsin. V hodisa olingan shar oq shar chiqishi bo'lsin. Ma'lumki 4 2 R V   6 3 A hodisa- ikkinchi olingan shar xam ok shar bulsin. U holda V hodisa ruy berdi 3 shartida R  A  V 5 Bog'liqmas va bog'liq hodisalarning birgalikda ruy berishi. Endi hodisalarning birgalikda ro'y berishi ehtimolini hisoblashga doir zarur teoremalarni keltiramiz. 3-teorema. A va V hodisalar kupaytmasi ehtimoli bu hodisalardan birining ehtimolini ikkinchisining birinchisi ruy berdi degan shartdagi shartli ehtimol ko'paytmasiga teng: R(AV)=R(A).R (V) (2.4) A yoki topilsin R(AV)=R(V).R (A) (2.5) V 2 3 2 demak, yuqoridagi misolda R(AV)    3 5 5 Natija. Ikkita bog'likmas hodisa ko'paytmasining ehtimoli bu hodisalar ehtimoli ko'paytmasiga teng R(AV)=R(A).R(V) (2.6) 4-teorema. Birgalikda bog'likmas bo'lgan A1 A1…An hodisalarning kamida bittasining ro'y berishidan iborat A hodisaning ehtimolligi R(A)=1-q .q …q (2.7) 1 2 n ga teng. Bu yerda R(A )  q (i 1,n) 2 i To'la ehtimollik formulasi. A hodisa birgalikdamas hodisalar to'la guruhini tashkil qiluvchi V , V,….V hodisalarning biri bilan ro'y berishi mumkin bo'lsin. V , ...