Funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari

Funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari funksiya biror kesmada aniqlangan va uzluksiz bo'lsin. Unda, Veyershtrass teoremasiga asosan, funksiya bu kesmadagi qandaydir va nuqtalarda o'zining eng katta va eng kichik qiymatlarini qabul qiladi. Veyershtrass teoremasida kesmada uzluksiz funksiyalar uchun eng katta va eng kichik qiymatlar mavjudligi tasdiqlanadi, ammo ularni qanday topish masalasi qaralmaydi. Agar funksiya kesma ichida differnsiallanuvchi bo'lsa, bu masala quyidagi algoritm (ketma-ketlik) asosida amalga oshiriladi. 1. Berilgan funksiyaning hosilasi topiladi. 2. tenglamani yechib , , …, kritik nuqtalar topiladi va ulardan kesmaga tegishli bo'lganlari ajratiladi. 3. Berilgan funksiyaning kesmaga tegishli kritik nuqtalardagi va kesmaning chetlaridagi , qiymatlari topiladi. 4. Yuqorida hisoblangan funksiya qiymatlari orasidan eng katta va eng kichigi ajratiladi. Ular biz izlayotgan va qiymatlar bo'ladi. Agar funksiya kesmada monoton o'suvchi bo'lsa, u holda va bo'ladi. Agar funksiya kesmada monoton kamayuvchi bo'lsa, u holda va bo'ladi. Agar funksiya biror (chekli yoki cheksiz) oraliqda uzluksiz va bitta ekstremumga ega bo'lib u maksimum (minimum) bo'lsa, u holda u funksiyaning berilgan oraliqdagi eng katta (eng kichik) qiymati bo'ladi. Juda ko'plab geometrik, fizik va texnik masalalarni yechish qandaydir funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topishga olib keladi. Amaliyotda bunday masalalarni ko'pligi va ularning muhimligi matematik analizning rivojlanishi uchun muhim turtki bo'lgan. Bunday masalalarni yechishda ko'pincha masala shartiga asosan erkli o'zgaruvchini tanlash va tekshirilishi kerak bo'lgan miqdorni u orqali ifodalash (funksiyani tuzish) keyin esa hosil qilingan funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatini topish kerak bo'ladi. Bunda erkli o'zgaruvchining o'zgarish oralig'i (chekli yoki cheksiz) ham masala shartidan aniqlanadi. Ba'zi bir masalalarda tekshirilishi kerak bo'lgan funksiya tayyor holda berilishi ham mumkin. Mavzuga doir yechimlari bilan berilgan topshiriqlardan namunalar 1. funksiyaning kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlari topilsin. yechish: 1) Berilgan funksiyaning hosilasini topamiz: ; 2) tenglamani yechib kritik nuqtalarni topamiz: , , ; Kritik nuqtalarning har uchalasi kesmaga tegishli. Funksiyaning kritik nuqtalardagi va kesmaning chetlaridagi qiymatlarini hisoblaymiz. , . Bu qiymatlarni taqqoslab eng katta qiymat eng kichik qiymat ekanligini aniqlaymiz. 2. funksiyaning kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlari topilsin. yechish: 1) Berilgan funksiyaning hosilasini topamiz: ; 2) Kritik nuqtalarni topamiz: , , va ; Demak, kritik nuqta ikkita bo'lib, ulardan biri, ya'ni nuqta qaralayotgan kesmaning ichki nuqtasi bo'lmaydi. Shuning uchun kririk nuqtanigina olamiz. Shunday qilib, biz va larni topamiz. ; ; . Demak, eng katta qiymat va eng kichik qiymat bo'ladi. 3. funksiyaning kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlari topilsin. yechish: 1) Berilgan funksiyaning hosilasini topamiz: ; 2) tenglamani yechib ...