Funksiyaning hosilasi. Hosilaning geometrik va mexanik ma'nolari

Funksiyaning hosilasi. Hosilaning geometrik va mexanik ma'nolari funksiyaning nuqtadagi hosilasi deb, funksiyaning nuqtadagi orttirmasini argument orttirmasi ga nisbatining nolga intilgandagi limitiga aytiladi va u,, lardan biri bilan belgilanadi. Hosilaning ta'rifiga ko'ra, funksiyaning ixtiyoriy nuqtadagi hosilasini topish uchun quyidagi algoritmni ko'rsatish mumkin. 1) ga orttirma beriladi, u holda funksiya ham orttirma oladi va bo'ladi; 2) Funksiyaning orttirmasi topiladi; 3) Funksiya orttirmasining argument orttirmasiga nisbati topiladi; ; 4) Bu nisbatning nolga intilgandagi limiti topiladi; Berilgan funksiyaning hosilasini topish amaliga funksiyani differensialash deyiladi. ga funksiya hosilasining nuqtadagi qiymati deyiladi. egri chiziqning nuqtasiga o'tkazilgan urinmaning burchak koeffisienti funksiya hosilasining nuqtadagi qiymatiga teng. Ya'ni, . egri chiziqning nuqtasiga o'tkazilgan urinmaning tenglamasi formula yordamida tuziladi. Bu yerda . Nuqta o'qi bo'yicha harakat qilib, vaqtning paytida koordinataga ega bo'lsin, u holda vaqtning paytida , . bo'ladi. Har qanday funksiyaning hosilasini hosilani hisoblash algoritmi bo'yicha aniqlash har doim ham oson emas va ancha murakkab hisoblashlarni talab etadi. Shu sababli amalda funksiyaning hosilasi quyidagi qoidalarni qo'llash yordamida topiladi. 1.(-o'zgarmas son). 2. (-o'zgarmas son). 3., 4. . 5. Bu yerda va lar x nuqtada hosilaga ega bo'lgan funksiyalardir. Egri chiziqning nuqtasiga o'tkazilgan normal tenglamasi dan iborat bo'ladi (1-chizma). kesmalar mos ravishda urinma osti va normal osti deyiladi. Ularning uzunliklari urinma va normal uzunliklari deyiladi. Hosilani hisoblash (qoidalar) algoritmi yordamida bir qator funksiyalarni hosilalarini topib quyidagi jadvalni tuzamiz: Agar funksiyaning hosilasi o'z navbatida hosilaga ega bo'lgan funksiya bo'lsa, u holda uning hosilasi ikkinchi tartibli hosila deyiladi va deb belgilanadi. Agar ikkinchi tartibli hosila yana hosilaga ega bo'lgan funksiya bo'lsa, u holda uning hosilasi uchunchi tartibli hosila deyiladi va kabi yoziladi. Xuddi shunday to'rtinchi, beshinchi va xakazo tartibli hosilalarga ta'rif berish mumkin. Mavzuga doir yechimlari bilan berilgan topshiriqlardan namunalar: 1. funksiyaning nuqtadagi hosilasi topilsin. yechish: 1) argumentga orttirma beramiz. U holda y funksiya orttirma oladi. ; 2) ni topamiz: ; 3) ni topamiz: ; 4) ni topamiz: Agar bu limit mavjud bo'lsa, u holda berilgan funksiyaning hosilasidan iborat bo'ladi. . . 2. parabolaning absissasi bo'lgan nuqtasiga o'tkazilgan urinmaning tenglamasi tuzilsin. yechish: Parabolaga tegishli bo'lgan va absissasi bo'lgan nuqtaning ordinatasini topamiz: egri chiziqning nuqtasiga o'tkazilgan urinma tenglamasi dan iborat bo'lgani uchun dastlab ni so'ngra ni topamiz. . Demak urinma tenglamasi , , dan iborat. 3. funksiyaning hosilasi topilsin. yechish: Funksiyalar yig'indisining hosilasini topish formulasidan foydalanamiz: . 4. Quyidagi funksiyalarning hosilalari topilsin: 1) 2) 3) . yechish: 1) Ko'paytmani hosilasini toppish qoidasidan foydalanamiz: 2) 3) Bu funksiyani hosilasini topish uchun bo'linmani hosilasini topish qoidasidan ...