Funksiyaning ekstremumlari

Funksiyaning o'sishi va kamayishi. Funksiyaning ekstremumlari Teorema. Differensiyallanuvchi funksiya biror oraliqda o'suvchi (kamayuvchi) bo'lsa, u holda bu oraliqda uning hosilasi shartni qanoatlantiradi. Teorema. Agar differensiyallanuvchi funksiyaning hosilasi biror oraliqda shartni qanoatlantirsa, unda bu oraliqda funksiya o'suvchi (kamayuvchi) bo'ladi. Teoremaning birinchi qismi oraliq funksiyaning monotonlik oralig'i bo'lishining zaruriy, ikkinchi qismi esa yetarli shartini ifodalaydi. Teorema. Berilgan funksiya nuqta va uning biror atrofida aniqlangan bo'lib, bu atrofdagi ixtiyoriy x nuqta uchun shartni qanoatlantirsa, u shu nuqtada maksimumga (minimumga) ega deb ataladi. Funksiyaning maksimum va minimum qiymatlari uning ekstremumlari deyiladi. Teorema. Ferma teoremasi. Agar funksiya nuqtada differensiallanuvchi va ekstremumga ega bo'lsa, unda bu nuqtada funksiyaning hosilasi nolga aylanadi. Ya'ni, bo'ladi. Funksiya ekstremumga ega bo'lgan nuqtada uning hosilasi nolga teng yoki mavjud bo'lmaydi. Teorema. Funksiya hosilasini nolga teng qiladigan yoki mavjud qilmaydigan nuqtalar kritik yoki statsionar nuqtalar deyiladi. Teorema. (Ekstremumning birinchi yetarli sharti). Agar funksiya kritik nuqtaning biror atrofida differensiyallanuvchi bo'lib, bu kritik nuqtani chapdan o'ngga qarab bosib o'tishda hosila o'z ishorasini musbatdan manfiyga (manfiydan musbatga) o'zgartirsa, unda kritik nuqtada funksiya maksimumiga (minimumiga) ega bo'ladi. Teorema. Agar funksiyaning hosilasi kritik nuqtaning chap va o'ng atrofida ishorasini o'zgartirmasa, unda bu nuqtada funksiya ekstremumga ega bo'lmaydi. Teorema. (Ekstremumning ikkinchi yetarli sharti). Agar kritik nuqtada , va chekli bo'lsa, unda bu nuqtada funksiya ekstremumga ega bo'ladi. Jumladan, bo'lsa, funksiyaning maksimumi (minimumi) bo'ladi. Mavzuga doir yechimlari bilan berilgan topshiriqlardan namunalar 1. funksiyaning o'sish va kamayish oraliqlari topilsin. yechish: Funksiya da aniqlangan. Uning hosilasini topamiz. . Funksiyaning o'sish oraliqlarini topish uchun tengsizlikni yechamiz. , , Bundan va . Demak, berilgan funksiya da o'suvchi. Funksiyaning kamayish oralig'ini topish uchun yoki tengsizlikni yechamiz. Undan yoki . Demak, funksiya oraliqda kamayuvchi. 2. funksiyaning o'sish va kamayish oraliqlari topilsin. yechish: Berilgan funksiyaning hosilasini topamiz. . hosila va da musbat, va da manfiy. Berilgan funksiyaning aniqlanish sohasi oraliqdan iborat ekanligini etiborga olib, funksiyaning oraliqda o'suvchi va oraliqda kamayuvchi ekanligini aniqlaymiz. 3. funksiyaning o'sish va kamayish oraliqlari topilsin. yechish: Funksiya da differensiallanuvchi va x ning barcha qiymaylarida . Demak, berilgan funksiya doimo o'smovchi funksiya ekan. oraliqda o'zgarmas va oraliqda qat'iy kamayuvchi. 4. funksiya x ning qanday qiymatida maksimumga erishadi. yechish: Bu yerda va qiymatlar uchun . Demak, nuqtaning ixtiyoriy atrofida tengsizlik bajariladi. Shuning uchun funksiya nuqtada maksimum qiymatga erishadi. 5. funksiyaning eksrtemumlari topilsin: yechish: 1) Hosilani topamiz: ; 2) Hosilani nolga tenglab, tenglamaning ildizlarini topamiz: , , Demak, kritik nuqtalar: , ; 3) Hosila mavjud bo'lmagan nuqtalar yo'q. Berilgan funksiyaning hosilasi hamma joyda aniqlangan va ...