Ikki karrali integrallar va ularning xossalari

Ikki karrali integrallar va ularning xossalari 1. Ikki karrali integral ta'rifi. Bizga ma'lumki, egri chiziqli trapetsiyaning yuzasi haqidagi masala oddiy aniq integral tushunchasiga olib keladi. Shunga o'xshash, silindrik jismning hajmi haqidagi masala esa ikki karrali ( aniq) integral tushunchasiga olib keladi. (P) sohada funksiya aniqlangan bo'lsin. (P) sohani chekli sondagi (P1), (P2),…, (Pn) sohalarning egri chiziqlari bilan bo'lamiz. Bu qism sohalar bog'langan yoki bog'lanmagan bo'lsin. (Pi) i-elementar sohada ixtiyoriy nuqtani olamiz, bu nuqtada funksiyani qiymatini mos sohaning Pi yuzasiga ko'paytiramiz va barcha shunga o'xshash ko'paytmalarni qo'shamiz. Olingan yig'indini f(x,y) funksiya uchun (P) sohada integral yig'indi deb ataymiz. λ orqali (Pi) qism sohalar diametrlarining eng kattasini belgilaymiz.Agar λ→0 da integral yig'indi (P) sohani (Pi) qismlarga bo'lish usuliga, nuqtaning tanlanishiga bog'liq bo'lmagan holda chekli limitga ega bo'lsa u holda bu limit funksiyaning (P)sohada ikki karrali integrali deyiladi va kabi belgilanadi. Integralga ega funksiya integrallanuvchi deyiladi. 2. Ikki karrali integralni mavjud bo'lish sharti. Integrallanuvchi funksiya chegaralangan bo'lishi zarur. Haqiqatan, aks holda (P) sohani ixtiyoriy berilgan usulda qismlarga bo'lishda nuqtalarni tanlash hisobiga integral yig'indini ixtiyoriy katta qilish mumkin. Berilgan funksiyani oldindan chegaralangan deb faraz qilamiz: . Bir ozgaruvchili funksiya holidagi kabi, bu yerda yana Darbuning quyi va yuqori yig'indilarini kiritamiz: S bu yerda va , mos ravishda funksiyaning sohadagi aniq quyi va aniq yuqori chegaralarini bildiradi. (P) sohani qismlarga bo'lishning berilgan usulida, nuqtani tanlashga bog'liq bo'lmagan holda, ushbu tengsizlik bajariladi. Lekin bu nuqtalarni tanlash hisobiga qiymatlarni ga yetarlicha yaqin qilish mumkin, shu bilan birga yig'indini s(S) ga yetarlicha yaqin qilish mumkin. Shunday qilib, Darbuning yuqori va quyi yig'indilari mos ravishda, sohaning o'sha bo'linish usuliga mos, integral yig'indining yuqori va quyi chegaralari bo'ladi. Darbu yig'indilari uchun quyidagi xossalar o'rinli. . Boshlang'ich bo'linish chiziqlariga yangi chiziqlar qo'shish bilan qismlarga keyingi bo'lishda, Darbuning quyi yig'indisi kamaymaydi, yuqori yig'indisi esa o'smaydi. Har bir Darbu quyi yig'indisi, (P) sohaning hech bo'lmaganda, boshqa bo'linish usuliga mos har bir yuqori yig'indisidan katta emas. Yana, aniq chegaralarni mavjudligi o'rnatiladi va quyidagi tengsizlik bajariladi: Quyidagi teorema o'rinli. T e o r e m a. Ikki karrali integralning mavjud bo'lishi uchun tenglikni bajarilishi zarur va yetarli, yoki (1) bu yerda funksiyaning qism sohadagi tebranishi. 3.Integrallanuvchi funksiyalar sinfi. Integrallanish alomati yordamida quyidagilarni isbot qilish mumkin. I. (P) sohada uzluksiz har qanday funksiya integrallanuvchi. Haqiqatan, agar funksiya yopiq (P) sohada uzluksiz bo'lsa, u holda tekis uzluksizlik xossasiga ko'ra, har bir songa shunday topiladiki, (P) sohaning diametri dan kichik ixtiyoriy qismida, funksiyaning tebranishi dan kichik bo'ladi. Endi ...