Ikki o'lchovli integral

Ikki o'lchovli integral Reja: 1. Ikki o'lchovli (karrali) integral tushunchasi 2. Ikki karrali integralning asosiy xossalari Tayanch iboralar: Оху tekislik, L yopiq kontur, yo'naltiruvchi, z=f(x,y), silindrik jism, ikki olchovli integral, 1-§ Ikki o'lchovli integral tushunchasi va uning asosiy xossalari Ikki olchovli integrallarga olib keladigan masalalar - Оху tekislikdagi L yopiq kontur bilan chegaralangan soha bo'lsin. soha, yo'naltiruvchi vа yasovchilari Oz o'qga parallel bo'lgan С silindrik sirt, hamda tenglamasi z=f(x,y) bo'lgan S sirtning bo'lagi bilan chegaralangan jismni qaraymiz (1-chizma). Bunda z=f(x,y) funktsiya sohada aniqlangan, uzuksiz vа manfiy emas deb faraz qilamiz. Bunday jismni silindrik jism deb ataymiz. Shu silindrik jismning hajmini hisoblash haqidagi masalani z z y y x L x 1- chizma 2- chizma ko'raylik. Buning uchun sohani n tа kichik 1, 2,,n yuzalarga аjratamiz, bunda har bir i kichik yuzalarning ustida S sirtning i yuzaga proyeksiyalanuvchi bo'lagi bilan chegaralangan kichik silindrik sirt (ustuncha) yasaymiz. Shu bilan аsosli silindrik jism asoslari 1 bo'lgan n tа ustunchaga ajraladi. Аsosi 1 bo'lgan ustun hajmini V1 bilan belgilaymiz. U holda silindrik jismning V hajmi bu ustunchalar hajmlarining yig'indisiga teng, ya'ni: i Endi 1 аsosli silindrni qaraymiz. Silindrning balandligi sifatida S sirtning 1 yuzining ixtiyoriy Pi(x1,y1) nuqtasidagi z1 аpplikatasini olamiz (2-chizma). Bu silindrning hajmi 1 аsosning yuzini z1=f(x,y) balandlikka ko'paytmasiga teng bo'lib, uni 1 аsosli ustuncha V1 hajmining taqribiy qiymati sifatida olamiz: V1(x1, y1) i Barcha bunday hajmlarning yig'indisini olsak, silindrik jism V hajmining taqribiy qiymatini hosil qilamiz: V hajmning aniq qiymati sifatida (1) yig'indining i kichik yuzachalar soni cheksiz ortadi, har bir yuzacha esa nuqtaga aylanadi degan shartdagi limitini olamiz: (2) Shunday qilib, silindrik jismning V hajmini hisoblash haqidagi masala (1) yig'indi lmitni topishga keltirildi. Оldingi mavzudagi masalalar bizni tayin ko'rinishdagi yig'indilarni tekshirishga olob keldi. Bu yig'indilarni tuzish (Оху tekislikdagi) biror, soha vа unda berilgan uzluksiz funktsiya bilan bog'liq bo'ldi. Fizika vа texnikaning ko'pchilik masalalari ana shunday yig'indilarning limitini topishga keltirildi. Shu sababli bunday yig'indilarning limitlarini umumiy holda, u yoki bu muayan fizik masalaga bog'lamasdan o'rganish maqsadga muvofiqdir. Оху tekislikning sohada z=(P)= (x,y) funktsiya berilgan bo'lsin. Ushbu ishlarni bajaramiz. 1. soha n tа 1, 2 ,,n kichik yuzachalarga shunday bo'lamizki, bu kichik yuzachalarning yuzlari yig'indisi butun sohaning yuziga teng bo'lsin: 2. Har bir i kichik yuzachalarda ixtiyoriy Рi(xi,yi) nuqtani tanlaymiz z=(P)= (x,y) funktsiyaning Рi nuqtadagi qiymatini igа ko'paytiramiz: (Pi) i=(xi,yi) i 3. Barcha shunday ko'paytmalar yig'indisini tuzamiz: = (3) bu yig'indi ikki o'zgaruvchining z=f(P)=f(x,y) funktsiyasi uchun tuzilgan integral yig'indi deb ataladi. Та'rif. (3) ...