Aylana, Ellips, Parabola, Giperbola

Ikkinchi tartibli egri chiziqlar Bu paragrafda ikkinchi tartibli egri chiziqlardan aylana, ellips, giperbola va parabolalar hamda ularga doir masalalarni keltiramiz. 3.1. Aylana Ma'lumki, tekislikda berilgan M(a;b) nuqtadan bir xil R masofada joylashgan nuqtalarning geometrik o'rni aylana deb ataladi. Bunda M(a;b) nuqta aylana markazi, R esa aylana radiusidir. Aylana ta'rifidan foydalanib, markazi M(a;b) nuqtada va radiusi R bo'lgan aylananing 2 +2 = R2 kanonik tenglamasini keltirib chiqarish mumkin. Agar aylananing markazi koordinata boshida bo'lsa, ya'ni a=0, b=0 bo'lsa, u holda tenglama 2+2 =2 ko'rinishga keladi. Agar aylananing markazi o'qida yotsa, u holda uning tenglamasi 2+2=2 ko'rinishda, agar aylananing markazi OY o'qida yotsa, u holda uning tenglamasi 22=2 ko'rinishda bo'ladi. Aylana tenglamasi va larga nisbatan ikkinchi darajali tenglama bo'lib, unda 2 va 2 lar bir xil koeffitsiyentlar bilan qatnashadi. Bundan tashqari, tenglamada va lar ko'paytmasi qatnashmaydi. Demak, aylana tenglamasi umumiy ko'rinishda quyidagicha yoziladi. 2+2+ Bu tenglamani 2 +2 = 2 tenglama bilan solishtirib, ekanligini ko'rishimiz mumkin. Bunda quyidagi xususiy hollar bo'lishi mumkin: a) bo'lsa, u holda bo'lib, 0 tenglama aylana tenglamasini ifodalaydi; b) bo'lsa, u holda bo'lib, qaralayotgan tenglama bitta nuqtani anglatadi. c) bo'lsa, u holda mavhum son bo'lib, qaralayotgan tenglama ma'noga ega bo'lmaydi. Mavzuga doir yechimlari bilan berilgan topshiriqlardan namunalar 1. Markazi nuqtada va radiusi bo'lgan aylananing tenglamasini yozing. yechish: Masalaning shartiga asosan va . Bularni aylananing kanonik tenglamasiga qo'yib (x-3)2+(y-4)2=25 ni hosil qilamiz. 2. x2+4x+y2-6y-3=0 tenglama bilan berilgan aylananing markazini va radiusini toping. yechish: Berilgan tenglamani kanonik ko'rinishga keltiramiz: x2+4x+y2-6y-3=(x+2)2-4+(y-3)2(x+2)2(y-3)2. Demak, (x+2)2+(y-3)2-16=0 yoki (x+2)2+(y-3)2=42. Bundan esa M(-2;3) va R=4 kelib chiqadi. 3. Markazi nuqtada va radiusi bo'lgan aylanaga koordinatalar boshidan o'tkazilgan urinmalar yasalsin hamda ularning tenglamalari tuzilsin. yechish: Aylananing markazi absissa o'qidan radiusga teng masofada joylashganligi uchun, urinmalardan biri absissa o'qidan iborat bo'ladi (1-chizma). Aytaylik, CON bo'lsin, u holda bo'ladi, tg ni hisoblaymiz: Demak, OM to'g'ri chiziqning burchak koeffitsiyenti ga teng bo'lib, uning tenglamasi dan iborat bo'ladi. 4. 0 tenglama tekislikdagi qanday nuqtalarni geometrik o'rnini aniqlaydi? yechish: x2+y2+6x-8y+25=(x+3)2-9+(y-4)2-16+25=(x+3)2+(y-4)2. Demak, berilgan tenglama (x+3)2+(y-4)2=0 ko'rinishga keladi. Bu tenglamani faqat birgina C(-3;4) nuqta qanoatlantiradi. Demak, berilgan tenglama nuqtani aniqlaydi. Mustaqil yechish uchun topshiriqlar 1. Quyidagi tenglamalar bilan berilgan aylanalar yasalsin. 1) (x-3)2+(y-4)2=16; 2) ( x-2)2+(y+4)2=25; 3) x2+(y-2)2=4; 4) x2+y2=16. (5;3) nuqtadan o'tuvchi va markazi 5x-3y-13=0 va x+4y+2=0 to'g'ri chiziqlarning kesishish nuqtasida bo'lgan aylana tenglamasi tuzilsin. Javob: (x-2)2+(y+1)2=25. 3. x2+y2=169 aylana bilan 5x-12y =0 to'g'ri chiziqning kesishish nuqtalari topilsin. Javob: (12;5) va (-12;-5). 4. Quyidagi aylanalarning koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari topilsin. 1) (x-3)2+(y-4)2=25; ...