Katta sonlar qonuni. Markaziy limit teoremalari

DOTsYeNT T.X.ADIROVNING MA'RUZASI 8-ma'ruza Katta sonlar qonuni. Markaziy limit teoremalari. Chebishev tengsizliklari. Erkli tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun katta sonlar qonuni. Chebishev va Bernulli teoremalari. Bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar uchun Markaziy limit teorema. Lyapunov teoremasi. Laplas teoremasi. Tayanch iboralar. Katta sonlar qonuni, Chebishev tengsizligi, markaziy limit teoremasi, tasodifiy miqdor, arifmetik o'rtacha, tekis chegaralangan dispersiya. Reja. 1. Katta sonlar qonuni. 2. Chebishev teoremasi. 3. Bernulli teoremasi. 4. Markaziy limit teoremasi. Malumki, tajriba natijasida tasodifiy miqdor mumkin bo'lgan qiymatlarning qaysi birini qabul qilishini oldindan aytib bo'lmaydi, chunki bu juda ko'p tasodifiy faktorlarga bog'liq,, bu faktorlarning esa hammasini hisobga olib bo'lmaydi. Ammo bir tamondan shuni ham takidlash keraki, keng qamrovli shartlar ostida ko'p sondagi tasodifiy miqdorlar yig'indisi deyarli tasodifiylik xarakterini yo'qotar ekan. Amaliyot uchun juda ko'p tasodifiy sabablarning birgalikdagi ta'siri tasodifga deyarli bog'liq bo'lmaydigan natijaga olib keladigan shartlarni bilish juda muhimdir, chunki bu hodisalarning qanday rivojlanishini oldindan ko'ra bilishga imkon beradi. Bunday shartlar umumiy nomi «Katta sonlar qonuni» deb ataluvchi teoremalarda keltiriladi. Bular qatoriga Chebishev va Bernulli teoremalari mansub bo'lib, Chebishev teoremasi katta sonlar qonunining eng umumiy, Bernulli teoremasi esa sodda holi hisoblanadi. Dastlab quyidagi ta'rifni keltiramiz. 1-ta'rif. Agar 1 X 1 , X 2 ,  , X n tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi mos ravishda M X  , M X  ,, M X  matematik kutilishlarga ega bo'lib, 1 2 n ixtiyoriy 0 son uchun n da DOTsYeNT T.X.ADIROVNING MA'RUZASI 2  1  2     1    2         1  P X X n  X n M X M X n  M X n (1) munosabat bajarilsa, berilgan tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi katta sonlar qonuniga bo'ysinadigan deyiladi. Katta sonlar qonuniga oid teoremalarni isbotlashda Chebishev tengsizligidan foydalaniladi. Biz bu teoremani isbotsiz keltiramiz. Chebishev tengsizligi. Ixtiyoriy  0  son uchun P X M X   D X yoki P X MX  1 DX . (2) 2 2 Praktika uchun Chebishev tengsizligining ahamiyati cheklangan bo'lib, u bazan trivial baho beradi. Chebishev tengsizligining nazariy ahamiyati juda kattadir. 1-teorema.(Chebishev teoremasi) Agar X 1 , X 2 ,  , X n juft-jufti bilan erkli tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi bo'lib, ularning dispersiyalari yuqoridan tekis chegaralangan (yani D  X i   C , i  1 , 2 , ) bo'lsa, u holda musbat  son har qancha kichik bo'lganda ham lim   1  2   ...