Bir o'zgaruvchili funksiyalarning integral hisobi

BIR O'ZGARUVCHILI funksiyaLARNING INTEGRAL HISOBI. 1-MAVZU: BOSHLANG'ICH FUNKSIYA VA ANIQMAS INTEGRALNING TA'RIFI, XOSSALARI. ANIQMAS INTEGRAL JADVALI. ANIQMAS INTEGRALDA O'ZGARUVCHINI ALMASHTIRISH VA BO'LAKLAB INTEGRALLASH. REJA: 1. Boshlang'ich funksiya. 2. Aniqmas integral tushunchasi. 3. Aniqmas integralning asosiy xossalari. 4. O'zgaruvchilarni almashtirish (o'rniga kuyish usuli). 5. Bo'laklab integrallash usuli. Tayanch so'zlar: boshlang'ich funksiya, , integrallash, aniqmas integral xossalari, aniqmas integral,integrallash operatsiyasi, o'rniga kuyib integrallash formulasi, Eyler almashtirishi, bo'laklab integrallash formulasi, asosiy integrallar jadvali. Aniqmas integral ta'rifi. Faraz qilaylik, funksiya intervalda ( bu interval chekli yoki cheksiz bo'lishi mumkin ) aniqlangan bo'lib, funksiya esa shu intervalda differensiallanuvchi bo'lsin. 1-ta'rif. Agar dayoki bo'lsa, funksiya da ning boshlang'ich funksiyasi deyiladi. Masalan. 1). funksiyaning dagi boshlang'ich funksiyasi bo'ladi, chunki . 2). funksiyaning intervaldagi boshlang'ich funksiyasi bo'ladi, chunki . Aytaylik, funksiya da aniqlangan bo'lib, funksiya shu segmendga differensiallanuvchi bo'lsin. 2-ta'rif. Agar bo'lib, bo'lsa, funksiya da ning boshlang'ich funksiyasi deyiladi. 8.1-misol. Ushbu funksiya intervalda boshlang'ch funksiyaga ega emasligi ko'rsatilsin. ◄ Teskarisini faraz qilaylik. Biror funksiya da ning boshlang'ich funksiyasi bo'lsin: da . Lagranj teoremasiga ko'ra da bo'ladi. Keyingi tenglikdan topamiz: Bu esa bo'lishiga zid. ► 1-eslatma. Keyinchalik, funksiya boshlang'ich funksiyasi bo'ladigan oraliqni ko'rsatib o'tirmaymiz. Oraliq sifatida ning aniqlanish oralig'i ko'zda tutiladi va sifatida lar olinishi mumkin. 1-teorema. Agar funksiya oraliqda uzluksiz bo'lsa, shu oraliqda har doim boshlang'ich funksiyaga ega bo'ladi. va funksiyalarning har biri funksiya uchun boshlan-g'ich funksiya bo'lsin: . Demak, . Bundan 7-bobdagi 1-natijaga ko'ra tenglik kelib chiqadi. Demak, funksiyaning barcha boshlang'ich funksiyalari bir-biridan o'zgarmas songa farq qiladi va istalgan boshlang'ich funksiyasi ushbu ko'rinishda ifodalanadi: . 3-ta'rif. funksiya boshlang'ich funksiyalarining umumiy ifodasi shu funksiyaning aniqmas integrali deb ataladi va kabi belgilanadi. Bunda -integral belgisi, integral ostidagi funksiya, esa integral ostidagi ifoda deyiladi. Demak, Masalan, bo'ladi, chunki hosila olish qoidalariga ko'ra . Aniqmas intefralning sodda xossalari. 1). funksiya aniqmas integarali ning differensiali ga teng: ◄ Haqiqatan ham, funksiya ning boshlang'ich funksiyasi bo'lsin: U holda bo'ladi. Keyingi tenglikdan topamiz: . ► Bu xossa avval differensial belgisi , so'ngra integral belgisi kelib, ular yonma-yon turganda o'zaro bir-birini yo'qotishni ko'rsatadi. 2). Funksiya differensialining aniqmas integrali shu funksiya bilan o'zgarmas son yig'indisiga teng: ◄ funksiya ning biror boshlang'ich funksiyasi bo'lsin: u holda tenglik o'rinli bo'ladi. Ikkinchi tomondan, . Oxirgi ikki tenglik 2)-xossani isbot etadi. ► Yuqorida keltirilganlardan, differensiallash (funksiyaning hosilasini hisoblash) hamda integrallash (funksiyaning aniqmas integarlini hisoblash) amallari o'zaro teskari amallar ekanligi kelib chiqadi. Ayni paytda funksiya hosilasi hisoblanganda natija bitta funksiya bo'lsa, uning aniqmas integrali hisoblanganda esa natija cheksiz ko'p funksiya (ular ...