Ko'paytmaning ta'rifi, uning mavjudligi va yagonaligi

Ko'paytmaning ta'rifi, uning mavjudligi va yagonaligi. Ko'paytirish qonunlari. Ko'paytmaning yig'indi orqali ta'rifi. Ma'ruza mashg'ulotining rejasi: Nomanfiy butun sonlar ko'paytmasi ta'rifi. Nomanfiy butun sonlar ko'paytmasining mavjudligi va yagonaligi. Nomanfiy butun sonlar ko'paytmasining xossalari. Ma'ruza matni Nomanfiy butun sonlar ko'paytmasi. a = n(A) va b = n(B)bo'lgana va b nomanfiy butun sonlar berilgan bo'lsin. 1-ta'rif. a va b nomanfiy butun sonlar ko'paytmasi deb, A×B dekart ko'paytma elementlari sonini ifodalovchi c nomanfiy butun songa aytiladi. Bu yerda A×B= (a,b) | a∈A,b∈Bekanini eslatib o'tamiz. Demak, ta'rifga ko'ra: a∙b = n(A×B) = c, bu yerda a, b, c∈N0, a∙b = c yozuvda a - 1-ko'paytuvchi, b - 2-ko'paytuvchi, c - ko'paytma deyiladi, c∈N0 sonni topish amali esa ko'paytirish deyiladi. Masalan, ta'rifga ko'ra 5 2 ko'paytmani topaylik. Buning uchun n(A) = 5 va ,n(B) = 2 bo'lganA = a; b; c; d; e, B = 1; 2 to'plamlarning dekart ko'paytmasini tuzamiz: A×B=(a; 1), (a; 2), (b; 1), (b; 2), (c; 1), (c; 2), (d; 1), (d; 2), (e; 1), (e; 2). Dekart ko'paytma elementlari soni 10 ta bo'lgani uchun 5∙2= 10. 2. Nomanfiy butun sonlar ko'paytmasining mavjudligi va yagonaligi. Teorema. Ikkita nomanfiy butun son ko'paytmasi mavjud va yagonadir. Ko'paytmaning mavjudligi va yagonaligi berilgan sondagi ele- mentlardan tashkil topgan to'plamlarning dekart ko'paytmasini tuzish har doim mumkinligi va dekart ko'paytma elementlari soni to'plamlarning qanday elementlardan tashkil topganiga bog'liq emasligi bilan isbotlanadi. 3. Ko'paytirish amalining xossalari. 1°. Ko'paytirish amali kommutativdir: (∀a, b∈N0) ab =ba. Isbot. a = n(A) va b = n(B), A∩B =∅ bo'lsin. A×B≠B×A, shunga qaramay, A×B~B×A (bunda istalgan (a,b)∈A×B juftlikka (b,a)∈B×Ajuftlik mos keltiriladi): A×B~B×A⇒ n(A×B) = n(B×A) , ab = n(A×B) = n(B×A) = ba⇒ ab =ba. 2°. Ko'paytirish amali assotsiativdir: (∀ a, b, c∈ N0) (ab)c =a(bc). Isboti. (ab)c = n(A),b = n(B),c = n(C)va A, B, Clar juft- jufti bilan kesishmaydigan to'plamlar bo'lsin: (ab)c= n((A×B)×Cva a(bc)= n(A×(B×C)). Yuqoridagi dekart ko'paytmalar doirasida o'zaro bir qiymatli moslik o'rnatish yo'li bilan (A×B)×C~A×(B×C)ekanini ko'rsatish mumkin (kombinatorika bo'limidagi ko'paytma qoidasini eslang). Demak: (ab)c = n((A×B)×C=n(A×(B×C) = a(bc). 3°. Ko'paytirishning qo'shishga nisbatan distributivligi: (∀a, b, c ∈N0) (a + b)c = ac + bc. Isbot.a = n(A),b = n(B), c = n(Cva A, B,Clar juft-jufti bilan kesishmaydigan to'plamlar bo'lsin. To'plamlar nazariyasidan malumki, (A∪B)×C = (A×C)∪(B×C)va A∩B =∅⇒(A×C)n n(B×C) =× chunki, A×Cva B×Cdekart ko'paytmalar elementlari 1-komponentlari bilan farq qiladi. Shularga asosan: (a +b)∙c = n((A∪B)×C) = n((A×C)∪(B×C))= = n(A×C) + n(B×C)= ac + bc. Demak, (a + b)c = ac ...