Koshi teoremasi

Kompleks o'zgaruvchili funksiyaning integrali va uning xossalari. Koshi teoremasi 1o. Integral ta'rifi. Kompleks sonlar tekisligi C da biror silliq (bo'lakli silliq) γ=AB egri chiziq olaylik. γ=AB egri chiziqni A = z0 ,z1 ,… ,zn= B nuqtalar yordamida n ta bo'laklarga ajratamiz . lar (k=1,2,,n) uzunliklari lk larning (k=1,2,,n) eng kattasini bilan belgilaymiz: Aytaylik, γ egri chiziqda f(z) funksiya berilgan bo'lsin. Har bir γk da ixtiyoriy nuqta olib, so'ng f(z) funksiyaning shu nuqtadagi qiymatini ga ko'paytirib, ushbu yig'indini tuzamiz . bu yig'indi f(z) funksiyaning integral yig'indisi deyiladi . Ravshanki, f(z) funksiyaning integral yig'indisi γ egri chiziqning bo'linishiga hamda har bir γk dan olingan nuqtalarga bog'lik bo'ladi. Ta'rif 1. Agar da f(z) funksiyaning integral yig'indisi egri chiziqning bo'linishiga hamda bo'lakda nuqtaning tanlab olinishiga bog'lik bo'lmagan holda chekli limitga ega bo'lsa, bu limit f(z) funksiyaning egri chiziq bo'yicha integrali deb ataladi va kabi belgilanadi . Demak (1) 2o. Integralning mavjudligi. Yuqorida keltirilgan ta'rifdan ko'rinadiki, (1) integral egri chiziqqa hamda unda berilgan f(z) funksiyaga bog'liq bo'ladi. Faraz qilaylik, egri chiziq ko'rinishda berilgan bo'lsin. Bunda x(t), y(t) funksiyalar segmentda aniqlangan, uzluksiz hamda, uzluksiz hosilalarga ega. parametr dan ga qarab o'zgarganda z=z(t) nuqta A dan B ga qarab ni chiza boradi. egri chiziqda funksiya aniqlangan va uzluksiz bo'lsin segmentni nuqtalar yordamida n ta bo'lakka ajratamiz. z=z(t) funksiya bu nuqtalarni egri chiziq nuqtalariga aylantiradi. nuqtalarning dagi akslarini deylik. Natijada bu nuqtalar yordamida egri chiziq bo'laklarga ajraladi, har bir da ixtiyoriy nuqtani olamiz . Ravshanki, bo'ladi . Endi ushbu yig'indini qaraymiz . Bu yig'indida bo'lishini e'tiborga olib quyidagini topamiz: (3) Bu tenglikning o'ng tomonidagi har bir yig'indi u(x,y) va v(x,y) funksiyalarning egri chiziqni integrallari uchun integral yig'indilaridir. Qaralayotgan funksiya egri chiziqda uzluksiz. Binobarin, u(x,y) va v(x,y) funksiyalar ham da uzluksiz. Demak, bu funksiyalarning egri chiziq bo'yicha integrallari mavjud va …… bo'ladi. (3) da da limitga o'tib topamiz: Bunda esa da yig'indi chekli limitga ega va bo'lishi kelib chiqadi. Natijada quyidagi teoremaga kelamiz. Teorema 1: Agar f(z) funksiya egri chiziqda uzluksiz bo'lsa, u holda bu funksiyaning egri chiziq bo'yicha integrali mavjud va bo'ladi. 3o. Integralning xossalari. Yuqorida ko'rdikki, uzluksiz f(z) kompleks o'zgaruvchili funksiyaning egri chiziq bo'yicha integrali egri chiziqli integralga kelar ekan. Shuning uchun f(z) funksiya integrali ham egri chiziqli integrallar xossalari kabi xossalarga ega bo'ladi. 1) o'ng tomondagi integralni mavjudligidan chap tomondagi integralni mavjudligi kelib chiqadi. 2) o'ng tomondagi integralni mavjudligidan chap tomondagi integralni mavjudligi kelib chiqadi. 3) Agar f(z) funskiya egri chiziq bo'yicha integrallanuvchi bo'lib bo'lsa, ...