Matematik induksiya usuli va ayniyat

Matematik induksiya usuli. Matematik induksiya usuli bilan ayniyatlarni isbotlash. Reja: Deduksiya va induksiya Matematik induksiya metodi bilan ayniyatlarni isbotlash Matematikaning boshqa fanlardan farqi shundaki, bu fan o'z nazariyasini deduktiv asosda quradi. Xulosalar ikki turga bo'linaadi: umumiy va xususiy. Umumiy xulosalardan xususiy xulosa chiqarish deduksiya deyiladi. Deduksiya so'zi o'zbek tilida xulosa chiqarish deyiladi. Fizika, kimyo, biologiya kabi fanlarda kuzatish va tajribalarga suyanib, induktiv mulohazalar yuritish keng qo'llaniladi. Xususiy xulosalardan umumiy xulosa chiqarish induksiya deyiladi. Induksiya so'zi o'bek tilida boshqarib borish yoki yetaklab borish kabi ma'nolarni bildiradi. Matematikada induktiv fikrlash va mulohazalar yuritish bilan tushunchalar, teoremalar shakllantiriladi, qator hollarda esa isbotlash yo'llari belgilanadi. Intuktiv fikrlash va mulohazalar yuritishda to'g'ri, shuningdek, noto'g'ri xulosalarga kelib qolishimiz mumkin. Buni quyidagi misollardan tushunib olishimiz mumkin. 1-misol. 150 soni 5 ga bo'linadi. 0 bilan tugovchi barcha sonlar 5 ga bo'linadi. Bu yerda xususiy xulosalardan umumiy xulosa chiqarilgan. Chiqarilgan xulosa to'g'ri. 2-misol. 150 soni 5 ga bo'linadi. Barcha uch xonali sonlar 5 ga bo'linadi. 3-misol. Raqamlarining yig'indisi 3 ga bo'linadigan sonlarning barchasi 3 ga bo'linadi. 3 ga bo'lingan sonlarning barchasi 9 ga ham bo'linadi. 2 va 3- misolda xususiy xulosalardan umumiy xulosa chiqarilgan. Chiqarilgan xulosalar noto'g'ri. Tekshirish jarayoni bir nechta chekli sondagi xususiy hollarning to'g'riligiga asoslanib , xulosa chiqarish usuli to'liq bo'lmagan induksiya deyiladi. 1-misol. N = 1,2,3… natural sonlar to'plamida aniqlangan A(1)=19, A(2)=23, A(3)=29 va A(4)=37 sonlari tub sonlardir. Shuning uchun, barcha n N sonlari uchun, A(n)=n2 +n+17 ifodaning qiymati tub son bo'ladi. Bu yerda to'liqmas induksiya yordamida xulosa chiqariladi. Chiqarilgan bu xulosa noto'g'ridir, chunki A(16)=289=172 soni tub son emas. 2-misol. 2 dan katta bo'lgan dastlabki bir nechta juft sonlarni ikkita tub sonning yig'indisi ko'rinishda tasvirlash mumkin: 4 = 2+2, 6=3+3, 8= 3+5, 10=3+7=5+5, 50=13+37 To'liqsiz induksiya yordamida 2 dan katta bo'lgan har qanday juft sonni ikkita tub sonni yig'indisi ko'rinishda yozish mumkin degan xulosaga kelamiz. Bu xulosaning to'g'ri yoki noto'g'ri ekanligi hozirgacha isbotlanmagan. Bu muammo L.Eyler, X.Gol'dbax muammosi deb yuritiladi. Yuqorida biz to'liqsiz induksiya va to'liq induksiya bilan tanishdik. Ularning birinchisini tadbiq etish noto'g'ri xulosaga olib kelishi mumkin, ikkinchisini tadbiq etish esa ko'p hollarda katta qiyinchilik tug'diradi. Shu bois, ularning tadbiq doirasi tordir. Endi tadbiq doirasi birmuncha kengroq bo'lgan va matematik induksiya metodi deb ataluvchi isbotlash usulini qaraymiz. Barcha xususiy hollarni tahlil qilish orqali mulohaza yuritish usuli to'liq induksiya deyiladi. 3-misol. Dastlabki n ta toq sonlar kvadratlarining yig'indisini topish talab qilinsin. 1,3,5,…, 2n-1 toq sonlar uchun n ning turli 1,2,3, qiymatlarida quyidagi yig'indilarni tuzaylik: n=1 ...