Tartibini pasaytirish mumkin bo'lgan oddiy differensial tenglamalar

TARTIBINI PASAYTIRISH MUMKIN BO'LGAN ODDIY DIFFERENSIAL TENGLAMALAR Faqat erkli o'zgaruvchi va noma'lium funksiyaning n-tartibli hosilasi qatnashgan differensial tenglama Bu paragrafda n-tartibli differensial tenglamalarni ba'zi tipdagilari bilan tanishtiramiz. Ularning umumiy yechimini kvadraturalar orqali ifodalash mumkin. Bunda kvadraturalarni hosil qilish uchun yo berilgan tenglamaga maxsus usullar to'g'ridan-to'g'ri tadbiq etiladi, yo birinchi qadamda tenglama tartibini pasytirib kvadraturalarda integrallanuvchi tenglamaga o'tib olinadi. Shuni ta'kidlash joizki, tenglama tartibini pasaytirish amali natijasida hosil bo'lgan tenglamani kvadraturalarda integrallash mumkin bo'lmasa ham, bu amal baribir foydadan holi emas. Chunki, tartibi kichik bo'lgan differensial tenglama yechimining xususiyatlarini o'rganish, berilgan tenglama yechimini o'rganishdan yengilroqdir. Shuningdek differensial tenglamalarni taqribiy yoki grafik yechishda ham tartibi kichikroq tenglamalar bilan ishlash oson kechadi. Shuning uchun differensial tenglamani qanday ko'rinishda integallamoqchi bo'lsak ham, birinchi navbatda uning tartibini pasaytirishga harakat qilamiz. Biz dastlab n-tartibli chala differensial tenglamalarni qaraymiz. Ulardan eng soddasi - bu faqat erkli o'zgaruvchi va noma'lium funksiyaning n-tartibli hosilasi qatnashgan differensial tenglamadir. Bunday tenglamalarni ham ikki tipga ajratib o'rganamiz. 1. n-tartibli differensial tenglama quyidagi ko'rinishda berilgan bo'lsin: (1) bu yerda funksiya intervalda uzluksiz. Bu tenglamani kvadaraturalarda integrallash qiyin emas. Haqiqtdan ham munosabatni hisobga olib (1) tenglamani quyidagicha o'zgartirib yozish mumkin: , bundan: , (2) bu yerda - ihtiyoriy o'zgarmas son, - oraliqdan olingan ihtiyoriy fiksirlangan son. Yuqoridagiga o'hshash mulohazalar yuritib quyidagilarni topamiz: , (2,1) , (2,2) . . . . . . . . . (2,n-2) (2,n-1) Ohirgi formula (10 tenglamaning barcha yechimlarini o'z ichiga oladi va shu tenglamning , , , … , . (3) sohadagi umumiy yechimini ifodalaydi. Undan foydalanib (1) tenglamaning ihtiyoriy , , … , , , (4) boshlang'ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini mumkin. Ihtiyoriy o'zgarmaslarni mos qiymatlarini aniqlash uchun (2), (2,1), (2,2), … , (2,n-2), (2,n-1) formulalarda mos ravishda , , , … , , o'rniga qo'yishlarni bajaramiz, bunda har doim o'rniga ni qo'yamiz. U holda quyidagilar hosil bo'ladi: , , , … , , . (5) Ihtiyoriy o'zgarmaslarni bu qiymatlarini (2,n-1) formulaga qo'yib izlanayotgan yechimni topamiz: (6) Agar hosil qilingan formulada , , … , larni ihtiyoriy o'zgarmalar deb hisoblasak, u holda uning o'zi (1) tenglamaning (3) sohadagi umumiy yechimini ifodalaydi. Bu joyda izlanayotgan funksiya va uning n-1 tartibgacha hosilalarining boshlang'ich qiymatlari ihtiyoriy o'zgarmaslar rolini o'ynaydi. Hullas (6) formula - (1) tenglamaning Koshi formasidagi umumiy yechimidan iborat. Ta'kidlash joizki (7) funksiya (1) tenglamaning xususiy yechimidan iborat. Uni (2,n-1) umumiy yechim formulasidan da hosil qilishimiz mumin. Bu xususiy yechim nol boshlang'ich shartlarni qanoatlantirishini ko'rish qiyin emas, ya'ni , , … ...