Teoremalar, ularning tuzilishi va turlari

Teoremalar, ularning tuzilishi va turlari Reja: Aksiomalar, aksiomatik ta'riflar. Teorema va uning tuzilishi. Teoremalarning turlari. Teoremani isbotlash. To'liqsiz va to'la induksiya. Tayanch iboralar: aksioma, aksiomatik ta'rif, teorema, natija, alomat, formula, ayniyat, qoida, teskari teorema, qarama-qarshi teorema, qarama-qarshisiga teskari teorema, deduktiv mulohaza, to'liqsiz induksiya. 1. Aksiomalar, aksiomatik ta'riflar. Bizga ma'lumki, biror obyektning muhim xossalari haqida tushunchalar bu obyekt haqidagi tushunchalar mazmunini tashkil etadi. Bu xossalarning bir qismi tushunchaning ta'rifiga kiritiladi. obyekt haqida yetarlicha to'la tasavvurga ega bo'lish uchun uning boshqa xossalari ham o'rganiladi. Masalan, obyekt sifatida uchburchak qaralayotgan bo'lsa, avvalo unga ta'rif beriladi so'ngra uning boshqa xossalari o'rganiladi. Matematikada ko'plab asosiy boshlang'ich tushunchalarning xossalari isbotsiz qabul qilinadi. Ular aksiomalar (to'g'riligini isbotsiz tan olish) deb ataluvchi jumlalar bilan beriladi. Masalan, geometriyaning «nuqta», «to'g'ri chiziq», «tenglik», «tenglik» kabi asosiy tushunchalarining xossalari quyidagi aksiomalarga kiritilgan: - to'g'ri chiziq qanday bo'lmasin, unga tegishli va tegishli bo'lmagan nuqtalar mavjud; - ixtiyoriy ikkita nuqta orqali bitta va faqat bitta to'g'ri chiziq o'tkazish mumkin; - to'g'ri chiziq tekislikni ikkita yarim tekislikka ajratadi va h.k. Ixtiyoriy matematik nazariyaning aksiomalar sistemasi asosiy tushunchalarning xossalarini ochish bilan birga, aslini olganda, ularning ta'rifini beradi. Bu ta'riflar aksiomatik ta'riflar deyiladi. 2. Teorema va uning tuzilishi. Tushunchaning asosiy bo'lmagan va ta'riflarga kiritilmagan xossalari odatda isbotlanadi, ya'ni ta'riflardan, aksioma va ilgari isbotlangan xossalardan natija sifatida keltirib chiqariladi. Tushunchalarning isbot qilinadigan xossalari teoremalar, ba'zida natijalar yoki alomatlar deb ataladi. Algebrada - formulalar, ayniyatlar, qoidalar deb ataladi. Har xil aytilishiga qaramay bu jumlalarning tuzilishlari bir xil bo'ladi. Shuning uchun ularning hammasini teoremalar deb ataymiz. Teorema - bu A(x) xossadan B(x) xossaning kelib chiqishi haqidagi predikatdir. Bu predikatning chinligi isbotlash yo'li bilan aniqlanadi. Teoremani A(x)B(x) ko'rinishdagi predikatdan iborat bo'ladi. Bunda A(x) shart (nima berilgan) va B(x) xulosa (nimani isbotlash kerak) ajratiladi. A(x)B(x) teorema berilgan bo'lsin. Ushbu B(x)A(x) teorema berilgan teoremaga teskari teorema deyiladi. Masalan, quyidagi teoremani qaraymiz: Agar sonning yozuvi 0 bilan tugasa, u holda bu son 5 ga bo'linadi. Bu yerda A(x) - shart sonning yozuvi 0 bilan tugasa, B(x) - xulosa bu son 5 ga bo'linadi. Bu teoremaga teskari teorema bunday bo'ladi: Agar son 5 ga bo'linsa, u holda uning yozuvi 0 bilan tugaydi. Bu yolg'on fikr, chunki 15 soni 5 ga bo'linadi va u 0 bilan tugamaydi. (xx) A(x)B(x) teorema berilgan bo'lsin. Ushbu (xx) ko'rinishdagi teorema berilgan teoremaga qarama-qarshi teorema deyiladi. Masalan, Agar sonning yozuvi 0 bilan tugasa, u holda bu son 5 ga bo'linadi teoremaga qarama-qarshi teorema quyidagicha bo'ladi: Agar sonning yozuvi 0 bilan ...