Teylor formulasi

Ma'ruzaning texnologik kartasi Blits-so'rov savollari 1. f(x) funksiyaning Teylor ko'phadi nima? U qanday tuziladi? 2. Ko'phad funksiya uchun Teylor ko'phadi qanday bo'ladi? 3. cosx, sinx, ln(1+x) funksiyalar uchun Peano, Koshi ko'rinishdagi qoldiq hadli Makloren formulalarini yozing. 4. Juft, toq funksiyalar uchun Makloren formulasi qanday xususiyatga ega? B.B.B. texnikasi Mavzuning bayoni: Teylor formulasi matematik analizning eng muhim formulalaridan biri bo'lib, ko'plab nazariy tatbiqlarga ega. U taqribiy hisobning negizini tashkil qiladi. 1. Teylor ko'phadi. Peano ko'rinishdagi qoldiq hadli Teylor formulasi Ma'lumki, funksiyaning qiymatlarini hisoblash ma'nosida ko'phadlar eng sodda funksiyalar hisoblanadi. Shu sababli funksiyaning x0nuqtadagi qiymatini hisoblash uchun uni shu nuqta atrofida ko'phad bilan almashtirish muammosi paydo bo'ladi. Nuqtada differensiallanuvchi funksiya ta'rifiga ko'ra agar y=f(x) funksiya x0nuqtada differensiallanuvchi bo'lsa, u holda uning shu nuqtadagi orttirmasini f(x0)=f'(x0)x+o(x), ya'ni f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+o(x-x0) ko'rinishda yozish mumkin. Boshqacha aytgandax0 nuqtada differensiallanuvchi y=f(x) funksiya uchun birinchi darajali P1(x)=f(x0)+b1(x-x0) (1) ko'phad mavjud bo'lib, xx0 da f(x)=P1(x)+o(x-x0) bo'ladi. Shuningdek, bu ko'phad P1(x0)=f(x0), P1'(x0)=b=f'(x0) shartlarni ham qanoatlantiradi. Endi umumiyroq masalani qaraylik. Agar x=x0 nuqtaning biror atrofida aniqlangan y=f(x) funksiya shu nuqtada f'(x), f''(x), , f(n)(x) hosilalarga ega bo'lsa, u holda f(x)=Pn(x)+o(x-x0) (2) shartni qanoatlantiradigan darajasi n dan katta bo'lmagan Pn(x) ko'phad mavjudmi? Bunday ko'phadni Pn(x)=b0+b1(x-x0)+b2(x-x0)2+ +bn(x-x0)n, (3) ko'rinishda izlaymiz. Noma'lum bo'lgan b0, b1, b2, , bn koeffitsiyentlarni topishda Pn(x0)=f(x0), Pn'(x0)=f'(x0), Pn''(x0)=f''(x0), , Pn(n)(x0)=f(n)(x0) (4) shartlardan foydalanamiz. Avval Pn(x) ko'phadning hosilalarini topamiz: Pn'(x)=b1+2b2(x-x0)+3b3(x-x0)2+ +nbn(x-x0)n-1, Pn''(x)=21b2+32b3(x-x0)+ +n(n-1)bn(x-x0)n-2, Pn''(x)=321b3+ +n(n-1)(n-2)bn(x-x0)n-3, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , Pn(n)(x)=n(n-1)(n-2)21bn. Yuqorida olingan tengliklar va (3) tenglikning har ikkala tomoniga x o'rniga x0 ni qo'yib barcha b0, b1, b2, , bn koeffitsiyentlar qiymatlarini topamiz: Pn(x0)=f(x0)=b0, Pn'(x0)=f'(x0)=b1, Pn''(x0)=f''(x0)=21b2=2!b2, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pn(n)(x0)=f(n)(x0)=n(n-1)21bn=n!bn Bulardan b0=f(x0), b1=f'(x0), b2=f''(x0), . . ., bn=f(n)(x0) hosil qilamiz. Topilgan natijalarni (3) qo'yamiz va Pn(x)= f(x0)+ f'(x0)(x-x0)+f''(x0)(x-x0)2+ +f(n)(x0)(x-x0)n, (5) ko'rinishda ko'phadni hosil qilamiz. Bu ko'phad Teylor ko'phadi deb ataladi. Teylor ko'phadi (2) shartni qanoatlantirishini isbotlaymiz. Funksiya va Teylor ko'phadi ayirmasini Rn(x) orqali belgilaymiz: Rn(x)=f(x)-Pn(x) (4) shartlardan Rn(x0)=Rn'(x0)== Rn(n)(x0)=0 bo'lishi kelib chiqadi. Endi Rn(x)=o((x-x0)n), ya'ni =0 ekanligini ko'rsatamiz. Agar xx0 bo'lsa, ifodaning 00 tipidagi aniqmaslik ekanligini ko'rish qiyin emas. Unga Lopital qoidasini n marta tatbiq qilamiz. U holda ==…== ==0, demak xx0 da ...