To'lqin tenglamasi uchun chegaraviy va aralash masalalarni yechishning Fur'e usuli

To'lqin tenglamasi uchun chegaraviy va aralash masalalarni yechishning Fur'e usuli Xususiy hosilali differensial tenglamalar nazariyasida chegaraviy yoki aralash masalalrni yechishda eng ko'p qo'llaniladigan usullardan biri bu o'zgaruvchilarni ajratish yoki Fur'e usuli hisoblanadi. Biz bu mavzuda ushbu usulni uchlari mustahkam mahkamlangan torning erkin tebranish tenglamasiga qo'yilgan ch1-chegaraviy masala misolida tanishib chiqamiz. Qolgan chegaraviy masalalar va aralash masalalar xuddi shunga o'xshash tarzda yechiladi. Masalaning qo'yilishi. Biz oldingi mavzularda to'lqin tenglamasi uchun uchta turdagi chegaraviy masalalar va aralash turdagi chegaraviy masalalarning qo'yilishi bilan tanishgan edik. Hozir biz bir jinsli chegaraviy shartli 1-chegaraviy masala yechimini, ya'ni (2.1.1) to'lqin tenglamasining (2.1.2) boshlang'ich shartni hamda uchlari mustahkamlanishga mos (uchlari siljishi yo'q) (2.1.3) 1-tur chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish bilan tanishamiz. Xuddi shu kabi bir jinsli 2-tur va 3-tur chegaraviy masalalarni hamda ular yordamida tuzuladigan aralash tipdagi bir jinsli chegaraviy masalalrni ham ta'riflashimiz mumkin (Oldingi mavzularda mavjudligi uchun ularni keltirishni o'quvchiga havola qilamiz). Bizga yagonalik teoremasidan ma'lumki qoyiladigan bu chegaraviy masalalr yagona yechimga ega. Quyida biz ushbu yechimni topish masalasi bilan tanishamiz. yechish usuli. Hozircha (2.1.1)-(2.1.3) masalaning (2.1.4) ko'rinishdagi nolmas yechimi mavjud deb faraz qlamiz va uninig ko'rinishini topamiz. Buning uchun (2.1.4) dan kerakli xususiy hosilalarni olamiz hamda ularni (2.1.1) ga qo'yamiz: . Ushbu tenglamani shartga ko'ra aynan nolga teng bo'lmagan ifodaga bo'lib, unga teng kuchli bolgan tenglamaga kelamiz: . Bu tenglamaning chap qismi faqat o'zgaruvchining funksiyasi bo'lsa, uning o'ng tomoni faqat o'zgaruvchining funksiyasidan iboratdir. Demak u nolmas yechimga ega bo'lishi uchun har ikkala kasrlar aynan bir o'zgarmas songa teng bo'lishi kerak. Hisoblashda qulaylik bo'lsishi uchun uni deb belgilaymiz: . (2.1.5) Tabiiyki (2.1.5) tenglamalar sistemasi aynan nolga teng bo'lmagan yechimga ega bo'lishi lozim bo'lgan quyidagi ikkita oddiy diferensial tenglamalarga ajraladi: . (2.1.3) chegaraviy shartlarni qaraymiz: Shartga ko'ra , aks holda bo'lar edi. Shuning uchun yuqoridagi chegaraviy shartlardan shartlarni hosil qilamiz. Shunday qilib biz qo'yilgan chegaraviy masalani yechish jarayonida funksiya uchun Stuurm-Liuvill masalasi deb ataluvchi quyidagi masalaga keldik. Stuurm-Liuvill masalasi va uni yechish. Ta'rif. ning (2.1.6) masala nolmas yechimga ega bo'ladigan qiymatiga shu masalaning xos qiymati va unga mos nolmas yechimga esa xos qiymatga mos xos funksiya deyiladi. xos qiymatni va unga mos xos funksiyani topish masalasiga odatda Sturm-Liuvill masalasi deb yuritiladi. Ushbu masalaninig yechimini topish maqsadida ning manfiy, nolga teng va musbat qiymatli hollarini alohida - alohida qaraymiz. 1-hol. Faraz qilaylik bo'lsin. Bu holda differensial tenglamalar kursidan bizga ma'lumki, (2.1.6) dagi ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglamaning umumiy yechimi (2.1.7) ko'rinishda bo'ladi. Bunda - ixtiyoriy haqiqiy sonlar. Ularni ...