Trigonometrik tenglamalarni yechish

Trigonometrik tenglamalarni yechish. Reja: 1. ko'rinishdagi eng soda tenglama. Arksinus. 2. ko'rinishdagi eng soda tenglama. Arkkosinus. 3. va ko'rinishdagi eng soda tenglamalar. Arktangens va Arkkotangens. 4. Tenglamalarni yechishning asosiy usullari. Noma'lum son faqat trigonometri funksiyaning argumenti sifatida qatnashgan tenglama (tengsizlik) trigonometrik tenglama (trigonometrik tengsizlik) deyiladi. , , , ko'rinishdagi tenglamalar eng soda trigonometrik tenglamalar deyiladi. Bu tengla-malarda tenglik belgisi bilan almashtirilsa, eng sodda trigonometrik tengsizliklar hosil bo'ladi. Odatta trigonometrik tenglamalarni (tengsizliklarni) yechish bitta yoki bir nechta eng sodda trigonometrik tenglamalarni (tengsizlillarni) yechishga keltiriladi. sinα=m ko'rinishdagi eng soda tenglama. Arksinus. tenglamani yechishbirlik aylanadagi shunday nuqtani topishdan iboratki, uning ordinatasi m gat eng bo'lishi kerak. Buning uchun gorizontal diametrga parallel bo'lgan y=m to'g'ri chiziq bilan birlik aylananing kesishish nuqtalarini: agar bo'lsa, y=m to'g'ri chiziq aylanani kesmay, undan yuqori yoki quyidan o'tadi . Demak, bu holda tenglama yechimga ega emas; agar bo'lsa, to'g'ri chiziq aylanaga yo yuqoridagi nuq-tada yoki quyidagi nuqtada urilib o'tadi (16-rasm). Bu holda tenglama yagona ildizga ega: yoki . Agar funksiya asosiy davri ham e'tiborga olinsa, yechimni ko'rinishda yozish mumkin. bo'lsa, y=m to'g'ri chiziq aylanada va nuqtalarda kesadi. Demak, tenglamalarning yechimi shu nuqtalarning koordinatalari bo'lgan barcha sonlar to'plamlarining birlashmasi bo'ladi: yechimni ; ko'rinishda ham yozish mumkin. yechimning geometrik tahlilida y=m to'g'ri chiziq bilan sinusoidaning kesishish nuqtasi haqida ham gapirish mumkin. Misol. tenglamani yeching. yechish. to'g'ri chiziq koordinatali aylanani va nuqtalarda kesadi (15-rasm). B1 nuqta barcha sonlar to'plamiga, B2nuqta esa barcha ko'rinishdagi sonlar to'plamiga mos. Barcha yechimlar to'plamini ; yoki ko'rinishda yozish mumkin. oraliqqa tegishli bo'lgan yagona x0 yechimga ega. tenglamani qanoatlantiruvchi soni m sonning arksinusi deyiladi va arcsinm orqali belgilanadi. Ta'rifga ko'ra sin(arcsinm)=m (1) va (2) bo'ladi. aksincha, va bo'lsa, bo'ladi. y=m va sonlari orasidagi bog'lanish ayon bo'ladi. va . demak, (3) Shunday qilib, bo'lgan holda tenglamaning yechimi to'plamlar birlashmasi ko'rinishida yoki ; ko'rinishda yoki bu keyingi ikki formulani birlashtirib, (4) ko'rinishda yozish mumkin. ko'rinishdagi eng soda tenglama. Arkkosinus. Koordinatali aylanada olingan har qaysi nuqtaning abssissasi ga teng. Shunga ko'ra berilgan m bo'yicha tenglamani yechish nuqtaning x=m abssissasi bo'yicha unga mos yoy kattaligini topishdan iborat. Uch holni qaraymiz. 1-hol. da x=m vertical to'g'ri chiziq aylanani kesmaydi. Bu holda tenglama yechimga ega emas. Masalan, tenglama yechimga ega emas, chunki . 2-hol. Agar bo'lsa, to'g'ri chiziq aylanani faqat bir nuqtada, ya'ni A(1;0) nuqtada, yoki D(-1;0) nuqtada kesadi (19-rasm). A nuqtaning aylana bo'yicha koordinatasi . Shunga ko'ra ning yechimi, sonlar to'plami bo'ladi. D(-1;0)=D() ekani etiborga olinsa, ning yechimi sonlar to'plami bo'ladi. 3-hol. bol'sa, ...