Yuqori darajali tenglamalar va ularni yechish

Yuqori darajali tenglamalar va ularni yechish Reja: Bikvadrat tenglamalar. O'zaro teskari ifodalarni o'z ichiga oluvchi tenglama. To'liq kvadrat ajratish usuli. Qaytma tenglamalar. 1. Bikvadrat tenglamalar. Noma'lumning toq darajalari qatnashmagan to'rtinchi darajali butun algebraic ratsional tenglama bikvadrat tenglama deyiladi. Har qanday bikvadrat tenglamani shakl almashtirishlardan keyin quyidagi kanonik ko'rinishga keltirish mumkin: (1) Agar (1) tenglamada almashtirishni bajarsak, kvadrat tenglamaga kelamiz.Bu tenglamaning ildizlari formulalar bo'yicha topiladi. Agar bo'lsa, u holda (1) bikvadrat tenglama to'rtta ildizga ega bo'ladi: (2) 1-misol. tenglamani yeching. yechish: (2) formuladan foydalanamiz: Javob: -3; -2; 2; 3. 2. O'zaro teskari ifodalarni o'z ichiga oluvchi tenglama. Bunday tenglamalar (3) ko'rinishga ega bo'ladi. (3) tenglama almashtirishlar bilan t ga nisbatan kvadrat tenglamaga keltiriladi: (4) tenglama ildizlarga ega bo'lsa, u holda quyidagi ikkita tenglamani olamiz: Bu tenglamalar shartida (3) tenglamaga teng kuchli bo'ladi. 2-misol. tenglamani yeching. yechish: Tenglamaning aniqlanish sohasiga faqat x=0 soni kirmaydi. Agar bo'ladi. Bundan t ga nisbatan kvadrat tenglamaga ega bo'lamiz. Uning ildizlarini topamiz: 1) tenglamani olamiz. Bu tenglamaning ildizlarini topamiz: ; 2) tenglamani olamiz, uning ildizlari bo'ladi. Javob: 3.To'liq kvadrat ajratish usuli. Ba'zi bir to'rtinchi darajali tenglamalarni to'liq kvadrat ajratish bilan kvadrat tenglamaga keltirib yechish mumkin. Buni misol orqali ko'ramiz. 3-misol. tenglamani yeching. yechish: Tenglamaning chap qismidan to'liq kvadrat ajratamiz: Agar tenglamani hosil qilamiz, uning ildizlarini topamiz: . 1) bo'lganda tenglamani olamiz, uning ildizlarini topamiz: . 2) bo'lganda tenglamani olamiz va uning ildizlarini topamiz: . Javob: 4.Qaytma tenglamalar. Ushbu ko'rinishdagi butun algebraik tenglama qaytma tenglama deyiladi. Bunda tenglamaning boshidan va oxiridan bir xil uzoqlikda yotgan hadlarning koeffitsiyentlari bir-biriga teng bo'ladi. Qaytma tenglamaning ildizlaridan hech biri nolga teng emasligini ko'rish oson. Agar x=0 tenglamaning ildizi bo'lsa, u holda biz a=0 ga ega bo'lamiz va tenglamaning darajasi pastroq bo'ladi. Oldin juft (n=2k) darajali qaytma tenglamani qaraymiz. Tenglamaning har ikkala qismini ga bo'lib, hadlarni guruhlash natijasida uni quyidagi ko'rinishga keltiramiz: (5) Agar (5) tenglamada desak, ketma-ket quyidagilarni topamiz: (6) (6) ni (5) ga qo'yib, y ga nisbatan k darajali tenglamani hosil qilamiz. x ning qiymatlarini esa tenglamadan topamiz. Toq darajali (n=2k+1) qaytma tenglamani yechish juft darajali qaytma tenglamani yechishga keltiriladi. Ushbu tenglamaning x=-1 ildizga ega ekanligini ko'rish qiyin emas. Demak, buning chap qismi x+1 ga bo'linadi. Tenglamaning ikkala qismini har biri x+1 ga bo'linadigan qo'shiluvchilar yig'indisi ko'rinishida ifodalaymiz: Shunday qilib, masmla juft ko'rsatkichli ushbu qaytma tenglamani yechishga keltiriladi. Qaytma tenglamaning yana o'ziga xos bir xususiyati bor. Agar soni qaytma tenglamaning ildizi bo'lsa, u holda soni ham shu tenglamaning ildizi bo'ladi. 4-misol. ...