Elastiklik nazariyasining tekis masalasi

Elastiklik nazariyasining tekis masalasi 8. Bigarmonik tenglamani keltirib chiqarish. Tekis masalani yechish usullari Reja: Ko'chish va kuchlanish orqali muvozanat tenglamasini ifodalash; Deformatsiyaning usluksizlik tenglamasini keltirib chiqarish; Tekis masalaning bifarmonik tenglamasi Tayanch tushunchalar: tekis kuchlanganlik holati, kushlanish funksiyasi, bigarmonik tenglama, Eri funksiyasi. Berilgan sirtdagi va hajmiy kuchlar bilan yuklangan plastinani ko'ramiz. Ko'chishlar usuliga ko'ra asosiy noma'lum funksiyalarlar sifatida и = и(х, у) и v =v(x, y) ko'chishlarni tanlaymiz. Ularni aniqlash uchun (1.5) muvozanat tenglamalarida kuchlanishlarni ko'chishlar orqali ifodalaymiz. Buning uchun (1.3) Koshining geometrik munosabatlari va Guk qonunining teskari ko'rinishi (1.6) dan foydalanamiz: 1.11 (1.11) ni (1.1) ga qo'yib, tеkis mаsаlа tenglamalarini ko'chishlarga nisbatan olamiz: qavslarni ochamiz; yoki bu yerda O'hshash hadlarni ihchamlaymiz Xuddi shunday (1.1) ni ikkinchi tenglamasini o'zgartiramiz, natijada quyidagi sistemani olamiz: (1.12) bu yerda G = E [2(1+)]. Chegaraviy shartlar (1.2) ga (1.11) dan х, у va τху larni qo'yamiz Xuddi shunday Guk qonuni (1.10) ga bo'ysunadigan ortotrop materiallar uchun (1.12) o'rniga quyidagi tenglamalarni olamiz: bu yerda o'xshash hadlarni ixchamlaymiz Xuddi shunday (1.1) ni ikkinchi tenglamasini o'zgartiramiz, natijada ortotrop materiallar uchun quyidagi sistemani olamiz: (1.13) Chegaraviy shartlar quyidagich bo'ladi (1.1'') Izotrop materiallar uchun yechimni kuchlanishlarda ko'ramiz. Asosiy noma'lum funksiyalarlar sifatida х = х(х, у), у = у(х, у) va τху = τху (х, у) uchta kuchlanishlarni olamiz, u holda ikkita muvozanat tenglamalari (1.1) va (1.4) deformatsiyalarning birgalikdalik tenglamasidan yechuvchi tenglamalarni olamniz: (1.14) Bu yerda εх, εу, ху deformatsiyalarni kuchlanishlar orqali ifodalash kerak. Hajmiy kuchlar X = const va Y = const bo'lsin. U holda (1.14) birinchi qatorini х bo'yicha, ikkinchisini у bo'yicha differentsiallab va natijalarni qo'shib quyidagi ifodalarni olamiz (1.15) Endi (1.14) ni oxirgi tenglamasiga (1.15) dan foydalanib (1.5) dagi deformatsiyalarni kuchlanishlar orqali ifodalarini qo'yamiz yoki (1.16) Differensial operator Laplasning garmonik operatori deyiladi, bu belgilashdan foydalansak (1.14) quyidagicha yoziladi (1.17) Bu yerda oxirgi qator tekis masalada kuchlanishlarda ifodalangan deformatsiyalarni birgalikdalik tenglamasi bo'lib, Levi tenglamasi deyiladi. Bu sistemaning muhim xysusiyatiga diqqatni qaratamiz: Unga Е va  elastiklik konstantalari kirmaydi. Demak, Рх, Ру (1.2) sirtgi kuchlar berilganda bu tenglamalar yechimi izotrop chiziqli-elastik materialning elastiklik konstantalari qiymatiga bog'liq bo'lmagan kuchlanishlarni beradi. Demak,ixtiyoriy φ kuchlanishlar fynksiyasini berib (1.18) yordamida jismda mos muvozanatli kuchlanishlar maydonini, yani, muvozanat tenglamalarini qanoatlantiruvchi maydonni olish mumkin. Olingan φ kuchlanishlar fynksiyasi Eri funksiyasi deyiladi. Muvozanatli kuchlanishlar maydonlaridan haqiqiy kuchlanishlar maydoni (1.17) sistemaning uchinchi tenglamasi- deformatsiyalarni birgalikdalik tenglamasini ham qanoatlantirishi kerak. Kuchlanishlarni (1.18) bo'yicha (1.17) ga qo'yamiz: yoki Qavs ichidagi ifoda garmonik operator 2 bo'lgani uchun olingan tenglikni 2 ...