Garmonik ostsilyatorning majburiy tebranishlari

Garmonik ostsilyatorning majburiy tebranishlari. Reja: 1. Garmonik ostsilyator. 2. Majburiy tebranishlar. 3. Majburiy tebranishlar jarayonida energiyani aylanish va saqlanish qonunlari. Sistemaga davriy o'zgaruvchi tashqi kuch kuyiladi. Bu kuch majburiy tebranuvchi kuch, uning taosirida yuzaga keluvchi tebranishlara esa majburiy tebranishlar deb ataladi. Garmonik ostsiplyatorning kuchsiz tashqi maydon taosirida kichik majburiy tebranishlarini kuraylik. Bu holda sistemaning U potentsial energiyasi UT potentsial energiyalar yig'indisidan iborat bo'ladi. U=Uu+Ut Ichki potentsial energiyaning x=g-g0 kichik parametr bo'yicha yoyilmasi bizga maolum, yaoni U(g)= xx2+, UT ning ana shunday yoyilmasi UT(g,t)=UT(g0,t)+ x+ (1) ni yozib F(t)=- (2) belgilash kiritsak, U=Uu+UT=xx2+U(g0,t)-xF(t) (3) ni yozamiz. Bu yerda F(t) -majbur etuvchi kuch. (3) ifodani Lagnanj funksiyasi L=T-U ga kuyishda U(g0,t) tushirib koldirish mumkin. U holda Lagranj va Reley funksiyalari L=mx2 - xx2+xF(t) (a) (4) D=kx2 (b) ko'rinishda yoziladi. Bularni Lagranj tenglamasi (j=1,2,3,,9) ga kuyib, (gj=x, g*j=x*) belgilashlarni kiritsak, (5) hosil bo'ladi. Bir jinsli bumagan ikkinchi tartibli va uzgarmas koeffitsiyentli tenglamaga ega bulamiz. (5) ko'rinishdagi tenglamaning yechimi x(t) umumiy yechim bilan (5) ning qandaydir x1(t) xususiy yechimining yig'indisiga teng: x(t)=x0(t)+x1(t) (6) Bu yerdagi x0(t) yechim ilgari topilgan x=a0cos(w0t+j). x=ae-btcos(w1t+j) fakat masalani xal etilishi x1(t) xususiy yechimning aniklanmishiga bog'liq bo'lib koladi. Endi ayrim xususiy xollarni ko'rib chiqamiz. a) ishqalanish kuchlari bo'lmagan xoldagi tebranishlar. F(t)=F0cos(wt+j) (7) davriy funksiya ko'rinishda tanlasak, b=0 uchun (5) tenglama (8) w, y majburiy tebranish kuchining chastotasi va boshlang'ich fazasi. Bu tenglamaning x1 xususiy yechimini (9) ko'rinishda izlaymiz. Uni (8) ga kuyib, sos(wt+y) ga qisqartirsak, b amplituda uchun (10) kelib chikadi. Kurilayotgan b=0 holda mos keluvchi bir jinsli tenglamaning x=acos(w0t+j) tula yechimi x0 bilan (9) xususiy yechimni (6) ga kuyib, (8) tenglamaning umumiy yechimi uchun (11) ifodani topamiz. Undan kuramizki, ishqalanish kuchlari bo'lmaganda bir o'lchovli sistemaning (7) davriy o'zgaruvchi majbur tebratvchi kuch taosiridagi harakati 2 ta garmonik tebranishlarining -w0 chastotali xususiy tebranishlari bilan w chastotali majburiy tebranishlarning kushilishidan iborat bular ekan. Majburiy tebranishlar jarayonida energiyaning aylanishi va saqlanishini kuraylik. boshlang'ich t=0 vaqt mobaynida muvozanat holatda tinch turgan (x(0)=0, (0)=0) sistemaga F=F0coswt majburiy tebranuvchi kuch taosir etsin va w0=2w bulsin. Bu xol uchun (11) harakat qonuni (12) ko'rinishda bo'ladi. U holda (13) bo'ladi. Bularni (14) ga kuyib (x=m) tebranuvchi sistemaning Ye0 ichki energiyasi va uning o'zgarish tezligi uchun (15) lar topiladi. Ikkinchi tomondan majburiy tebranuvchi kuch manbaining sistemasini tebratish uchun vaqt birligi ichida sarflangan energiyasi uchun ni topamiz. bo'ladi. Bulardan kuramizki, majburiy tebranishlar jarayonida tebranuvchi sistema bilan tebranuvchi kuch orasida uzluksiz ravishda energiya almashinuvi ruy beradi (18a), ammo tebranuvchi sistema va ...