Impuls momenti, kvadrati va kinetik energiya operatorlarining xususiy funksiyalari

Impuls momenti kvadrati va kinetik energiya operatorlarining xususiy funksiyalari Reja: Impuls momenti kvadrati operatorininig xususiy qiymati va xususiy funksiyalari Energiya operatori. Gamiltonian To'la energiya operatori. Impuls momenti kvadrati operatorininig xususiy qiymati va xususiy funksiyalari Kvant mexanikasida impuls moment kvadrati operatori fundamental ahamiyatga ega ekanligidan, uning xususiy qiymatini va xususiy funksiyasini aniqlash masalasi dolzarb masalalardan biri hisoblanishi kelib chiqadi. operator uchun olingan (7.2.14.) ifodani faqat θ va burchaklarga ta'sir qilishini hisobga olinsa, u holda to'lqin funksiyaning ushbu burchaklarning o'ziga bog'liq qisminigina qarash mumkin, yani operatorning xususiy qiymatlarini aniqlab beruvchi tenglama esa ko'rinishda bo'ladi. (7.2.14.) dagi ning qiymatini (8.1.2.) qo'yilsa va belgilash kiritilsa, mos tenglama quyidagi ko'rinishni oladi: Matematik fizika tenglamalari kursidan malumki, (8.1.4.) tenglama sferik funksiyalar tenglamasi hisoblanadi. Bu tenglamaning yechimlari to'lqin funksiyasi) oraliqlarda chekli, bir qiymatli va uzluksiz bo'lishi kerak. To'lqin funksiyasiga qo'yilgan yuqoridagi shartlarni bajarilishi uchun λ quyidagi tenglikni qanoatlantirishi kerak: λ= l(l +1) (8.1.5.) bunda l - butun nomanfiy son bo'lib, l = 0,1,2, qiymatlarni qabul qiladi va l sonining har bir qiymati uchun (8.1.4.) tenglama (2l+1) ta ildizga ega bo'ladi. Bu ildizlar sferik funksiyalarning o'zginasidir: Bunda m-butun son bo'lib, quyidagi qiymatlarni qabul qiladi: va hammasi bo'lib (2l + 1) ta qiymatga ega bo'ladi. Plm (cosθ) funksiya umumlashgan Lejandr polinomi deyiladi va u quyidagi ifodaga teng: Bu yerda - Lejandr polinomi deyiladi va u ko'rinishga ega bo'ladi. (8.1.6.) formuladagi oldidagi ko'paytma shunday tanlab olinadiki, funksiyalar ortogonal bo'lishi bilan bir qatorda ular sfera sirtida birga normalashgan bo'lishi kerak, yani Yuqorida olingan natijalarni ko'rilayotgan masala uchun qo'llaniladi. Avval qayd etilganidek, (8.1.4.) tenglama yechimining chekli, bir qiymatli va uzluksiz bo'lishi uchun λ= l(l +1) shartni qanoatlantirishi kerak. (8.1.3) va (8.1.5.) formulalardan impuls momenti kvadrati operatorning xususiy qiymatlari (8.1.11.) ga teng bo'lishi kerak. Bu qiymatlarga tegishli bo'lgan xususiy funksiyalar esa, ga teng. Yuqoridagi (8.1.11.) va (8.1.12.) ifodadan impuls momentining kvadrati (2l+1) karrali ayniganligi ko'rinib turibdi. Bu aynishining mohiyatini tushuntirish oson. operatorning xususiy funksiyalarini bir vaqtningo'zida operatorning ham xususiy funksiyasidir, yani ning qiymatini (2.71) formuladan (2.88) formulaga qo'yilsa tenglama hosil qilinadi va funksiyani eimp ga proportsionalligini hisobga olinsa, ifodaga kelinadi, yani ψlm funksiya (8.1.14.) tenglamani qanoatlantiradi va operatorning xususiy qiymatlari (8.1.15.) ga teng bo'ladi, yani hammasi bo'lib (2l +1) ta har xil qiymatga ega bo'ladi. Shunday qilib, l holatga to'gri kelgan impuls momentga mos bo'lgan energiya sathi (2l+1) karrali aynigan bo'lib, bu aynishni, odatda, moment yo'nalishlari bo'yicha aynish deb ataladi, boshqacha aytganda, impuls momenti tanlangan z yo'nalish bo'yicha (2l+1) ta xususiy qiymatga ega ...