Kvant mexanikaning matematik apparati

Kvant mexanikaning matematik apparati Reja: Chiziqli va o'z-o'ziga qo'shma operatorlar Fizik kattaliklarning o'rtacha qiymatlari va operatorlari orasidagi bog'lanish Operatorlarning xususiy funksiyalari va xususiy qiymatlari Chiziqli va o'z-o'ziga qo'shma operatorlar Har bir fundamental fizikaviy nazariyalarda o'ziga xos matematik apparat qo'llaniladi. Klassik mexanika differensial va integral hisoblash metodlarining, elektrodinamika va Eynshteynning relyativistik mexanikasi esa, vektor va tenzor analizning keng hamda har tomonlama tadbiq etilishi bilan bog'langan. Kvant mexanikada esa operatorlar nazariyasi keng qo'llaniladi. Klassik mexanikaning asosiy masalasi moddiy nuqta (jismlar)ning harakat traektoriyasini ifodalovchi funksiyalarni aniqlash masalasi hisoblanadi va klassik mexanikada o'rganiladigan fizik kattaliklar, yani impuls, impuls momenti, energiya va h.k.lar koordinata va vaqtning funksiyasi sifatida tavsiflanadi. Kvant mexanikada Geyzenberg noaniqliklar munosabatiga asosan mikrozarraning koordinatasi va impulsi bir vaqtning o'zida aniq qiymatlar qabul qila olmaydigan fizik kattaliklar hisoblanadi. Ikkinchi tomondan kvant nazariyasi bo'lajak voqealarni aniq aytib bera olmaydi, balki ularni amalga oshish ehtimolligini ko'rsatadi. Kvant mexanikada o'rganiladigan fizikaviy hodisalarning xususiyatlarini to'la ifodalovchi matematik apparat sifatida operatorlar nazariyasi qabul qilingan. Kvant mexanikada sistemaning rivojlanishini va bu jarayonlarda fizik kattaliklarning o'zgarishini ifodalash maqsadida operator deb ataluvchi matematik tushuncha kiritiladi. Matematikada operator deb bir funksiyani ikkinchi funksiya bilan taqqoslash usulini ifodalovchi belgiga yoki u(x) funksiyaga ta'sir etib yangi funksiyani hosil qiluvchi matematik amalga aytiladi, yani : Masalan, L = x bo'lsin, u holda υ(x)funksiyani olish uchun u(x)funksiyani o'zining x argumentiga ko'paytirish kerak yoki ko'rinishida berilsa, u holda υ(x) funksiyani hosil qilish uchun u(x) funksiyani x bo'yicha differensiallash zarur. Operatorlar ustida bajariladigan matematik amallarni o'rganamiz. Ikkita va operatorlar berilgan bo'lsin. To'lqin funksiyasiga tarzda ta'sir etuvchi Ĉ operatorni  va B operatorlarning yig'indisi deyiladi va bu operator: C =Α+Β ko'rinishda yoziladi. Ikkala Α va Β operatorlarning ko'paytmasi esa manoni bildiradi, yani ψ funksiyaga operator bilan ta'sir qilishi kerak, so'ngra hosil bo'lgan yangi to'lqin funksiyaga  operator bilan ta'sir etish lozim. Muhimi operatorlarning ko'paytmasi ko'payuvchilarning tartibiga bog'liq. Masalan, agar bo'lsa, u holda deb belgilanadi. Agar bo'lsa,  va operatorlar o'z-o'ziga kommutativ operatorlar deyiladi, aks holda, yani bo'lsa, ular komuttativ bo'lmagan (antikommutativ) operatorlar deyiladi. Operator va operatorlar uchun kommutator deyiladi. Avvalo, chiziqli operator degan tushuncha bilan tanishib chiqaylik. Agar operator quyidagi shartni qanoatlantiradigan bo'lsa, u chiziqli operator deb ataladi. Bu formulada u1 va u2 lar ihtiyoriy funksiyalar bo'lib c1 va c2 lar esa ixtiyoriy kompleks sonlardir. Koordinataning operatori ham, impulsning chiziqli operator ekanligiga ishonch hosil qilish qiyin emas: x(c1u1 + c2u2)= c1(xu1)+ c2(xu2) p (c1u1 + c2u2 ) = c1(pu1 )+ c2 (pu2 ) Agar va operatorlar chiziqli bo'lsa, ularning ...